Co to jest zbiór?

Poniższy tekst po raz pierwszy został opublikowany 14 listopada 2007 na stronie www.niezalezna.info

Nasza percepcja

Wyjdźmy od tego, że postrzegamy pewne obiekty. Zwykle jesteśmy w stanie wymienić kilka obiektów, które wyróżniamy w otaczającej nas rzeczywistości. W tej chwili postrzegam jako obiekt słownik leżący na moim biurku, postrzegam również jako obiekt laptopa, na którym piszę ten tekst, postrzegam też jako obiekt klawisz klawiatury mojego laptopa z literką ‘p’. To co postrzegamy jako jeden obiekt, zależy od naszej percepcji, od tego, że reagujemy na takie, a nie inne bodźce, że widzimy światło o takiej, a nie inne częstości, że mamy taką a taką siłę, czy taką a taką masę, oraz od naszej uprzednio zgromadzonej wiedzy. W tym miejscu nie chcę rozstrzygać, czy własność bycia obiektem jest obiektywna – zależy od samej rzeczywistości, czy jest zależna od obserwatora. Ponieważ nie umiem w tym momencie określić, czym jest obiekt w oderwaniu od percepcji, na potrzeby tego rozważania założę, iż to, że dana rzecz jest obiektem, zależy od rzeczywistości i obserwatora. Na marginesie zauważmy, że w ujęciu, gdy za świat realnie istniejący uznajemy nasz świat wewnętrzny – problem subiektywności faktu bycia obiektem znika.

Określenie pojęcia zbioru

Chcemy teraz mówić o zbiorach obiektów. Co to jest zbiór obiektów? Wydaje się, że określając konkretny zbiór obiektów, czynimy pewną mentalną konstrukcję, ustalając, że dane obiekty należą do tego konkretnego zbioru, a inne nie. Pozornie jest to niepoprawna definicja, bo do zdefiniowania zbioru użyliśmy pojęcia należenia. Jednak mogliśmy użyć jakiegokolwiek innego pojęcia. Nie chodzi tu bowiem o nazwę tej relacji, a o to, że każdy obiekt może być w dwóch różnych stanach względem konkretnego zbioru – i to jest istota definicji. Zwyczajowo na określenie jednego z tych stanów mówimy, że obiekt należy do zbioru, a na określenie drugiego, że nie należy. Należy jeszcze dookreślić, co rozumiemy przez ustalenie, które elementy należą do zbioru, a które nie. Pozostawienie luki w tym miejscu może powodować różnie nieporozumienia. Uznamy, że zostało ustalone, które elementy należą do zbioru, a które nie wtedy i tylko wtedy, gdy o każdym obiekcie można się w skończonym czasie w sposób zupełnie pewny przekonać, czy należy do zbioru, czy nie.

W ten sposób mogę np. mówić o zbiorze wszystkich długopisów leżących w tej chwili na moim biurku. Wszystkie długopisy leżące na moim biurku są w jednym stanie względem tego zbioru (należą), a wszystkie inne obiekty w drugim (nie należą). Określając ten zbiór, stworzyłem pewną mentalną konstrukcję. Mogę teraz powiedzieć, że do tego zbioru należy niebieski długopis leżący na biurku w pobliżu mojego laptopa, mogę również powiedzieć, że mój laptop nie należy do tego zbioru.

Takie rozumienie zbioru jakie zaproponowałem dopuszcza zbiór pusty. Określając ten zbiór, dokonuję pewnej mentalnej konstrukcji, ustalając, że wszystkie obiekty będą w jednym stanie względem tego zbioru. Żaden obiekt nie będzie do tego zbioru należał.

Zbiory zbiorów

Czy takie rozumienie zbioru pozwala na określanie zbiorów zbiorów? Wydaje się, że tak. Jeżeli już określę np. zbiór wszystkich długopisów, które leżą u mnie na biurku, mogę ten zbiór potraktować jako obiekt. W tym miejscu można przeprowadzić długą dyskusję na temat tego, czy rzeczywiście mogę tak zrobić. Ktoś mógłby być zwolennikiem traktowania jako obiekty tylko tych rzeczy, które fizycznie tworzą jedność. Jednak można zapytać, w jakim sensie mój laptop fizycznie tworzy jedność? Składa się przecież z poszczególnych części, lub schodząc o poziom niżej – składa się z oddalonych od siebie atomów powiązanych jedynie działającymi miedzy nimi siłami. Nie będziemy w tym miejscu rozstrzygać tych wątpliwości. Na razie zostańmy przy założeniu, że to czy coś jest obiektem, zależy od tego, czy jest tak traktowane przez obserwatora. W tym ujęciu zbiór wszystkich długopisów leżących na moim biurku, może być obiektem. Pamiętajmy jednak o tym, że dopuszczenie zbiorów zbiorów jest powołaniem do istnienia obiektów innego rodzaju – mówienie o nich zawsze będzie wzbudzało więcej filozoficznych kontrowersji niż mówienie o zbiorach samych obiektów nie będących zbiorami (czyli takich, które w naszej percepcji nie funkcjonują jako zbiór).

Możemy zatem wyróżnić zbiór, do którego będą należały: zbiór wszystkich długopisów leżących na moim biurku i zbiór wszystkich książek leżących na moim biurku. Będzie to zbiór, do którego będą należały tylko dwa obiekty i oba będą zbiorami. Możemy zacząć bawić się koncepcją zbioru i określać je w sposób rozmaity, np. możemy określić zbiór, do którego będą należały wszystkie długopisy leżące na moim biurku, zbiór wszystkich długopisów leżących na moim biurku i, zaszalejmy, mój laptop.

Powstaje teraz pytanie, czy tak określona koncepcja zbioru jest spójna. Innymi słowy, czy operując tak określonym pojęciem zbioru, nie natrafimy na paradoksy. Co będzie, gdy zechcemy określić zbiór wszystkich obiektów?

Pojęcie zbioru w teorii mnogości i jego nieadekwatność

Teoria mnogości mówi nam, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje – a jak za chwilę się okaże, w jej języku to dokładnie to samo co zbiór wszystkich obiektów. Ale czy możemy użyć ją jako adekwatne narzędzie do opisu zbiorów w sensie określonym powyżej? Przez następne kilka akapitów będziemy rozważać tę kwestię.

Na początku należy wyjaśnić, że teoria mnogości mówi tylko o zbiorach. Każdy zbiór niepusty w obrębie tej teorii jest więc zbiorem zbiorów, ponieważ nie ma w niej żadnych obiektów poza zbiorami. Mówiąc element będziemy mieli w zasadzie na myśli zbiór, który należy do jakiegoś innego zbioru.

Przyjrzyjmy się teraz aksjomatom teorii mnogości Zermelo-Fraenkla. Są to wszystko zdania zbudowane według pewnej formalnie zadanej składni. Przytoczę je w oryginalnej, matematycznej pisowni (zmodyfikowanej tak aby używać tylko znaków ASCII), ale za każdym razem podam wytłumaczenie w języku potocznym.

A1. /\(y,z) (y = z <=> (/\(x) x:-y <=> x:-z).
Oznacza to, że dwa zbiory są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element należy do jednego wtedy i tylko wtedy gdy należy do drugiego.

A2. \/(y)/\(x) not(x:-y).
Oznacza to, że istnieje taki zbiór, do którego nie należy żaden element.

A3. /\(x)/\(y)\/(z)/\(u) (u:-z <=> u = x lub u = y). Oznacza to, że dla każdych dwóch elementów istnieje zbiór który zawiera tylko te dwa elementy.

Poniższy aksjomat, nie będzie aksjomatem w ścisłym sensie, będzie to tak naprawdę reguła pozwalającą konstruować aksjomaty.

A4. Dla każdej zbudowanej zgodnie ze składnią teorii mnogości formuły Pzawierającej tylko jedną zmienną wolną x i nie zawierającej zmiennych y i z, poniższe zdanie będzie aksjomatem /\(y)\/(z)/\(x) (x:-z <=> x:-y i P).
Oznacza to, że dla dowolnego zbioru y, istnieje zbiór, którego elementy należą do zbioru y i dodatkowo spełniają pewien warunek P.

A5. /\(x)\/(u)/\(y) (y:-u <=> \/(z) (y:-z i z:-x)).
Oznacza to, że dla dowolnego zbioru x istnieje zbiór składający się ze wszystkich elementów zbiorów należących do zbioru x, czyli innymi słowy istnieje zbiór będący sumą zbiorów należących do zbioru x.

A6. /\(x)\/(z)/\(y) (y:-z <=> (/\(t) t:-y => t:-x )).
Oznacza to, że dla każdego zbioru istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów.

A7. \/(m)( (/\(t) ( /\(u) not(u:-t) ) => t:-m ) i /\(x) (x:-m => \/(z) z:-m i /\(v) (v=x lub (/\(h) h:-v <=> h=x)) <=> v:-z)).

Do wytłumaczenia tego aksjomatu musimy wprowadzić następujące oznaczenia. Niech 0 oznacza zbiór pusty, a {x1, x2, …, xn} oznacza zbiór zawierający elementy x1, x2, …, xn. Aksjomat A7 mówi, że istnieje zbiór zawierający następujące elementy 0; {0}; {0,{0}}; {0,{0},{0,{0}}}; {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}}} … i tak dalej i tak dalej. Jest to zbiór nieskończony.

A8. /\(x)( (\/(z) z:-x) => (\/(y) y:-x i /\(t) not(t:-x i t:-y)) )
Oznacza to, że do dowolnego niepustego zbioru x należy taki zbiór, który nie ma elementów wspólnych ze zbiorem x.

Do teorii mnogości należą powyższe aksjomaty oraz wszystkie zdania, które za pomocą określonych reguł można dowieść wychodząc z tych aksjomatów.

Aksjomat A2 mówi o istnieniu zbioru pustego. Aksjomat A7 mówi o istnieniu pewnego konkretnego zbioru nieskończonego. Pozostałe zbiory, których istnienie będziemy mogli wykazać na gruncie teorii mnogości będą albo zbiorami, których elementami będą zbiory, których istnienie pokazano wcześniej (aksjomaty A3 i A6), albo zbiorami zawartymi w zbiorach, których istnienie wykazano wcześniej (aksjomat A4), albo zbiorami będącymi sumą zbiorów, które są elementami zbioru, którego istnienie pokazano wcześniej (aksjomat A6). Istnienie innych zbiorów będzie niemożliwe do udowodnienia na gruncie teorii mnogości. Zatem za pomocą teorii mnogości nie pokażemy, że zbiór wszystkich długopisów leżących na moim stole jest faktycznie zbiorem.

Jaka jest więc zależność pomiędzy pojęciem zbioru w teorii mnogości a pojęciem zbioru, które przedstawiłem na początku tej pracy, które jak mi się wydaje służy nam do opisywania rzeczywistości? Z pewnością niektórym zbiorom, których istnienie można wykazać na gruncie teorii mnogości, odpowiadają pewne nasze konstrukcje mentalne, za pomocą których określamy zbiory obiektów w rzeczywistości. Do takich należą np. zbiór pusty, zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty, i tym podobne. Część myślicieli zgodzi się również, że takim zbiorem jest zbiór, którego istnienie wynika z aksjomatu A7.

Jednak niektóre zbiory, których istnienie da się wykazać na gruncie teorii mnogości nie będą miały żadnej odpowiadającej im konstrukcji mentalnej określającej jakiś rzeczywisty zbiór. Wynika to z aksjomatu A4 i twierdzenia Goedla. Z twierdzenia Goedla wynika, ze istnieje taka formuła zdaniowa P z jedną zmienną wolną i taki element k zbioru m, którego istnienie wynika z aksjomatu A7, że nie istnieje dowód zdania P(k), jak również nie istnieje dowód zdania ‘nieprawda, że P(k)’. Na mocy aksjomatu A4 istnieje jednak zbiór zawierający wszystkie elementy t zbioru m takie, że zachodzi P(t). Czy taki zbiór istnieje w rzeczywistości? Nie, ponieważ z każdym zbiorem rzeczywistym łączy się pewna konstrukcja mentalna, za pomocą której można określić które obiekty należą do zbioru, a które nie. W tym wypadku nie ma możliwości stwierdzenia czy obiekt odpowiadający zbiorowi k w teorii mnogości należy do tego zbioru, czy nie.

Wobec zauważenia powyższych różnic mówiąc dalej o zbiorach w sensie teorii mnogości będziemy używać terminu zbiór teoriomnogościowy, a mówiąc o zbiorach w sensie naszkicowanym na początku tej pracy – zbiór rzeczywisty.

Ustaliliśmy zatem, że pojęcie zbioru teoriomnogościowego nie pokrywa się z pojęciem zbioru rzeczywistego. Możemy więc mówić o pewnej nieadekwatności teorii mnogości do orzekania o zbiorach rzeczywistych.

Zbiór wszystkich obiektów

Wróćmy teraz do problemu, który postawiliśmy wcześniej, pytania czy istnieje zbiór wszystkich obiektów? Przypomnijmy, że w języku teorii mnogości zbiór wszystkich obiektów to dokładnie to samo co zbiór wszystkich zbiorów. W rozważaniach opartych o pojecie zbioru rzeczywistego musimy uznać, że zbiór wszystkich obiektów istnieje. Ściśle rzecz biorąc istnieje tak samo dobrze jak, istnieje zbiór pusty. Jeżeli bowiem określając zbiór pusty ustaliliśmy, że żaden obiekt do niego nie należy, innymi słowy ustaliliśmy że każdy obiekt jest w jednym stanie wobec zbioru pustego (nie należy), to możemy równie łatwo określić inny zbiór wobec którego każdy obiekt jest w drugim stanie (należy), czyli każdy obiekt należy do tego zbioru – jest to więc zbiór wszystkich obiektów. Być może wielu myślicielom nie spodoba się ten zbiór, jednak wtedy musi się im się również nie podobać zbiór pusty. Powodem dla którego zbiór wszystkich obiektów może się nie podobać jest to, że w przypadku gdy dopuszczamy mówienie o zbiorach obiektów jako obiektach (pamiętamy, że rozważając to wcale nie uznaliśmy tego za zupełnie oczywiste) zbiór wszystkich obiektów sam będzie obiektem, a zatem będzie należał sam do siebie. Należy sobie jednak zdać sprawę, że analogicznie kontrowersyjny będzie fakt, że zbiór pusty nie należy sam do siebie – aby przekonać się o tej analogii wystarczy tylko zamienić znaczenia słów “należy” i “nie należy”.

Nie wiem w tym momencie, czy mówienie o zbiorze wszystkich obiektów w języku zbiorów rzeczywistych, prowadzi do paradoksu. Chcę pokazać jednak, że rozumowanie którym posługujemy się w teorii mnogości (bez aksjomatu A8!), aby wykazać, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje, nie da się przenieść na zbiory rzeczywiste. Uzmysławia to według mnie, że ewentualny paradoks nie będzie tu aż tak prosty do uzyskania.

Jeden z teoriomnogościowych dowódów, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje opiera się na paradoksie Rusella. Jest to dowód nie wprost. Zakładamy, że zbiór wszystkich zbiorów istnieje i nazywamy go x. Na mocy aksjomatu A4 istnieje zbiór y = {t:-x : not(t:-t)}, czyli zbiór wszystkich elementów zbioru x, które nie są swoimi własnymi elementami. Zbadajmy prawdziwość zdania y:-y. Oczywiście gdyby y:-y, byłoby not(y:-y) – zatem nie prawda, że y:-y. Zbadajmy prawdziwość zdania not(y:-y), wtedy y:-y – zatem nieprawda, że not(y:-y). Ale zdanie ‘y:-y lub not(y:-y)’ jest zdaniem zawsze prawdziwym, wobec tego sprzeczność. Jest to klasyczny paradoks Rusella, który w tym przypadku prowadzi do wniosku, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje. W tz. naiwnej teorii mnogości prowadził on do sprzeczności.

Rozumowania tego nie przełożymy na zbiory rzeczywiste. Zbiór rzeczywisty ma przecież taką własność, że o każdym obiekcie można się w skończonym czasie w sposób zupełnie pewny przekonać, czy należy do zbioru, czy nie. Gdyby więc y – zbiór wszystkich zbiorów, które do siebie nie należą, był zbiorem w sensie rzeczywistym, nie mogłoby być wątpliwości czy należy on do siebie, czy nie. Paradoks Rusella pokazuje, że właśnie taka wątpliwość jest, a zatem zbiór y nie jest na pewno zbiorem rzeczywistym.

W niniejszej pracy zaproponowałem pewne rozumienie pojęcia zbioru i pokazałem, że nie prowadzi ono do prostego paradoksu, którego można by się było spodziewać znając problematykę związaną z teorią mnogości. Nie wykazałem jednak, że pojęcie zbioru zaproponowane tutaj nie prowadzi do żadnych sprzeczności.

KOMENTARZE (13)

  1. rz2012-11-21 00:32:28

    Mamy tu cały szereg problemów i trudno będzie mi się do wszystkich odnieść, ale spróbuję wypunktować te, moim zdaniem, najważniejsze

    1.”czy własność bycia obiektem jest obiektywna – zależy od samej rzeczywistości, czy jest zależna od obserwatora.”

    Myślę, że to pozorna dychotomia, gdy uznamy, że obserwator jest częścią rzeczywistości.

    2. “chodzi o to [...] że każdy obiekt może być w dwóch różnych stanach względem konkretnego zbioru”

    Warto zwrócić uwagę, że taka dwustanowość to szczególna cecha rzeczywistości, pojawiająca się też w klasycznym rachunku zdań (prawda vs fałsz) i arytmetyce binarnej (0 vs 1). Może to być oczywiście tylko pozór, ale inny opis rzeczywistości najprawdopodobniej i tak nie byłby dla nas zrozumiały. Wszystkie nasze zmysły (a zwłaszcza połączenia nerwowe) wydają się być właśnie dwustanowe (tak/nie).

    3. “Ktoś mógłby być zwolennikiem traktowania jako obiekty tylko tych rzeczy, które fizycznie tworzą jedność.”

    Powstaje pytanie — czy jesteśmy w stanie ocenić, co jest “fizyczną jednością”? Czy takie pojęcie w ogóle może odnosić się do rzeczywistości? Czy też jest ono wynikiem jej modelowania/idealizacji, a zatem świata pojęć a nie bytów realnych.
    Rozwiązaniem wydaje się zaliczenie pojęć (nawet tych fałszywych) do rzeczywistości, bo mają one zawsze jakąś reprezentację fizyczną (choćby w umyśle osoby dokonującej idealizacji).

    4. “zbiór nieskończony ”

    W tym miejscu pojawia się podstawowy problem, bo zbiór powinien zawierać wszystkie należące do niego elementy (argument z sieci — “jest logiczne, że posiadam tylko te nieruchomości, które do mnie aktualnie należą”).
    Jest tak w przypadku zbioru pustego (zawiera 0 elementów, bo żaden do niego nie należy) i każdego zbioru skonstruowanego na jego podstawie. Jak więc miałby być konstruowany zbiór niezawierający ostatniego elementu? Wydaje się, że takie pojęcie jest po prostu wewnętrznie sprzeczne.
    Rozwiązaniem jest powrót do koncepcji “nieskończoności aktualnej”, ale nie deklaratywny (jak w teorii mnogości, bo tam pod pozorem “nieskończoności aktualnej” usiłuje się przemycić “nieskończoność potencjalną”, czyli taką której z zasady _nie da się_ odnieść do rzeczywistości), lecz faktyczny. By nieco przybliżyć tę ideę można posłużyć się rzeczywistością wirtualną. Niezależnie od tego jak duża będzie pamięć i długość słowa komputera użytego do modelowania/opisu rzeczywistości, w którymś momencie pojawi się konieczność zaokrąglania wyników. Liczby przy których zaobserwujemy takie zjawisko mogą być bardzo duże ale zawsze skończone.
    Operacje arytmetyczne, przy których ujawni się “niedokładność” (w sensie braku symetrii działania operacji odwrotnej) da się uporządkować. Najpóźniej pojawią się problemy przy dodawaniu jedynki, ale i tu w końcu trzeba będzie zaokrągleń.
    Nie musi to wcale znaczyć, że nasz model jest dokładnym odwzorowaniem rzeczywistości (jako jej fragment nie może zawierać pełnej informacji o całości), ale da się to założenie sfalsyfikować. A to wystarczający powód, by przyjąć (na razie) oparty o nie paradygmat. Takie odzwierciedlenie zasadniczo zgadza się z koncepcją jednostek naturalnych Plancka i modelem skończonego, choć ograniczonego wszechświata.

    Jest jeszcze jeden istotny argument za odrzuceniem aktualnie obowiązującej koncepcji zbiorów nieskończonych (które m.in. miałyby charakteryzować się równolicznością z własnymi podzbiorami). Każdy obiekt rzeczywisty możemy traktować jako zbiór nieskończony, bo zawsze możemy podzielić go na dowolną liczbę części (często o dość niesprecyzowanym sensie, ale nie ma to większego znaczenia).
    Jak łatwo się przekonać taki (wirtualny) podział nie może wpłynąć na zachowanie się rzeczywistych obiektów. Można stąd zatem wnioskować, że i w naszym opisie nic nie należy zmieniać. Liczba elementów jednego zbioru “nieskończonego” może stanowić wielokrotność liczby elementów innego zbioru “nieskończonego”, może też przewyższać ją o konkretną, zupełnie skończoną, wartość.
    Nie jest to moja koncepcja, ale na tym etapie dyskusji powstrzymam się od podawania jej autora. Jest to zresztą do znalezienia w sieci.

  2. Michał Stanisław Wójcik2012-11-22 00:09:42

    Odniosę się na razie krótko do wątku “niskończoności”. Oczywiście przykładów zbiorów nieskończonych nie sposób podać. W tym sensie kwestia ich istnienia jest hipotetyczna. Jeżeli cząstek elementarnych jest skończona ilość, to (w koncepcji fizykalistycznej) wszystkiego jest skończona ilość – jest nawet skończona ilość obiektów, o których kotolwiek mógł kiedykolwiek pomyśleć.

    Idea zbioru nieskończonego, to bardziej algorytm – co by było gdybyśmy zawsze mogli dołożyć jeszcze trochę pamięci. W tym sensie rozumiem konstrukcję zbioru liczb naturalnych. To jest bardziej gra na symbolach. O tyle usprawiedliwiona, że implikuje wnioski praktyczne. Łatwiej się operuje na nieskończonym zbiorze liczb naturalnych, niż prowadzi obliczenia pamiętając ciągle o jakiejś nieprzekraczalnej liczbie. Łatwiej konstruuje się algorytm zakładając, że dysponujemy nieograniczoną pamięcią, a potem puszcza się go na maszynie rzeczywistej i pewnych brzegowych obszarach danych ten algorytm zawodzi, ale mało się tym zwykle przejmujemy.

    W zasadzie proponowałbym na płaszczyźnie ontologicznej wogóle nie podnosić problemu zbiorów nieskończonych (nie ma żadnych argumentów za ich rzeczywistym istnieniem), natomiast na płaszczyźnie pewnej gry symbolów dopuszczałbym ich używanie ze względu na wygodę. Można to nawet ująć w ten sposób, że ze względów praktycznych dopuszczamy stosowanie teorii, o której wiemy, że nie jest zgodna z rzeczywistością.

  3. rz2012-11-23 15:18:32

    Zgoda, że tzw. “zbiór nieskończony”, to swego rodzaju algorytm. Ale algorytm jest jednym obiektem i nie należy go utożsamiać z uzyskiwanym przezeń wynikiem, który potencjalnie (ale tylko potencjalnie) może być nieograniczony.
    Zbiór wszystkich obiektów, zawiera w sobie także element nazywany “zbiór wszystkich obiektów”, a nawet elementy “większe” od “zbioru wszystkich obiektów”, ale wszystkie one są pojedynczymi pojęciami, tak jak “marzenie”, “jutro”, “możliwość”. Nie da się ich wypełnić treścią, bo wtedy przestają odpowiadać swojej nazwie.

    “Łatwiej się operuje na nieskończonym zbiorze liczb naturalnych, niż prowadzi obliczenia pamiętając ciągle o jakiejś nieprzekraczalnej liczbie.”

    W takim podejściu kryją się liczne niebezpieczeństwa. Pierwszym i najważniejszym jest zatracenie pojęcia “liczności”. W każdym skończonym zbiorze kolejnych liczb naturalnych jest trochę liczb parzystych i trochę nieparzystych. Można nawet powiedzieć, że jest ich albo dokładnie, albo prawie tyle samo (im większy zbiór tym bardziej). Przejście do “zbioru nieskończonego” zaburza tę regułę. Taka jest przynajmniej współczesna opinia matematyków.
    A to oznacza, że i w takim zbiorze musi istnieć jakaś liczba nieprzekraczalna, powyżej której zasady indukcji przestają działać. Czy nie należałoby zatem przyjąć, że zbiór liczb naturalnych jest ograniczony tylko do pewnej wartości, nie dającej się co prawda zapisać w postaci dziesiętnej, albo dwójkowej (czyli przekraczającej naszą zdolność pojmowania), ale łatwo zapisywalnej cyframi nieskończonymi?

  4. Michał Stanisław Wójcik2012-11-23 23:23:36

    Nie widzę tutaj zasadniczego konfliktu. Zbioru nieskończonego nie mogę doświadczyć, a więc nie mogę mieć pewności, czy rzeczywiście istnieją, ani jakie są ich własności. Teorie matematyczne, które mówią o zbiorach nieskończonych wyprowadzają je z jakichś aksjomatów. Te koncepcje nieskończoności mogą być różne, spójne wewnętrzne, ale sprzeczne ze sobą na wzajem. Skoro jednak brak przykładów w rzeczywistości, trudno powiedzieć, która z teorii jest lepsza. W teorii mnogości pojęcie nieskończoności jest ściśle zdefioniowane i można ‘bawić’ się tym pojęciem. To prawda, że występuje tam własność, że każde dwa nieskończone podzbiory zbioru liczb naturanlnych są równoliczne, ale to pojęcie jest śliśle zdefiniowane i ono takie jest – tak je wymyślono. Te równoliczności można dowodzić na mocy definicji i jest to wszystko zupełnie ścisłe. Natomiast w praktyce i tak nie ma czegoś takiego jak sprawdzanie równoliczności zbiorów nieskończonych.

    Jeżeli chodzi o ograniczenie zbioru liczb naturalnych, to musiałby Pan zdefiniować dokładniej o co Panu chodzi. W teorii mnogości można mówić o liczbach większych niż naturalne, ale ich sens jest nieco inny.

    Proszę też jakoś określić do czego Pan zmierza, bo ja generalnie nie widzę problemu z nieskończonością. Rozwiązuje to przez stwierdzenie, że w rzeczywistości nie obserwuje nieskończoności, a więc wszelkie mówienie o niej i tak jest teoretyczne, natomiast w szczegółach konkretnych teorii należy się zawsze zastanawiać o co chodzi i jakie przełożenie na praktykę ma takie a nie inne pojęcie liczności.

  5. Michał Stanisław Wójcik2012-11-24 08:25:21

    @rz

    Zgoda, że tzw. “zbiór nieskończony”, to swego rodzaju algorytm. Ale algorytm jest jednym obiektem i nie należy go utożsamiać z uzyskiwanym przezeń wynikiem, który potencjalnie (ale tylko potencjalnie) może być nieograniczony.

    Mogę sobie jednak wyobrażać co by się działo, gdyby pamięci było nieskończenie wiele. To, że w pewnym momencie to wyobrażenie nie opisuje już nic realnie istniejącego, nie oznacza, że nie można mówić o własnościach tego wyobrażenia.

    Weźmy prosty algorytm:
    i = 0
    do{
    print “(i, 2i)”;
    i = i + 1
    } while(true)

    Załóżmy, że liczby naturalne są zaimplementowane na komputerze w ten sposób, że nie następuje ‘przekręcenie’ licznika, ale do pamiętania coraz większych liczb naturalnych potrzeba coraz więcej pamięci. W takim przypadku ten prosty algorytmik na każdym komputerze w pewnym momencie zużyje całą pamięć i spowoduje jego “zawieszenie”. W sensie realistycznym nigdy więc nie pokaże on równoliczności zbioru liczb naturalnych i liczb parzystych. Natomiast w innym sensie, w sensie pewnego jedynie myślowego eksperymentu on to pokazuje. Wyobrażam sobie bowiem, że każda liczba naturalna może zostać wypisana po lewej stronie, i każda liczba parzysta po prawej, jeżeli tylko dostarczę komputerowi odpowiednią ilość zasobów. No i coż można zarzucić temu wyobrażeniu? No chyba tylko to, że nie ma odpowiedniej ilości zasobów. Tylko, że to wiemy od początku. Poza tym wydaje mi się, że wyobrażenie to jest samo w sobie spójne.

  6. rz2012-11-30 12:21:52

    “W teorii mnogości pojęcie nieskończoności jest ściśle zdefiniowane i można ‘bawić’ się tym pojęciem. To prawda, że występuje tam własność, że każde dwa nieskończone podzbiory zbioru liczb naturanlnych są równoliczne, ale to pojęcie jest ściśle zdefiniowane i ono takie jest – tak je wymyślono. Te równoliczności można dowodzić na mocy definicji i jest to wszystko zupełnie ścisłe.”

    Ściśle czyli jak? Czy pojęcie krasnoludka też możemy uważać za ścisłe, jeśli w definicji uwzględnimy kolor brody, wzrost, strój i obyczaje?
    Z [równo]licznością jest jednak ten dodatkowy problem, że rodzi sprzeczności. Łatwo bowiem udowodnić, że ułamków (np. dziesiętnych) jest w zakresie od 0 do dowolnej liczby naturalnej zawsze więcej niż liczb naturalnych, bo
    1. między 0 a 1 mamy 1/10, 2/10, 3/10… itd. (mniejsza nawet o to, czy wliczamy 0/10 i 10/10)
    2. między dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi zawsze przybywa więcej niż dwa ułamki
    Tymczasem w teorii mnogości orzeka się równoliczność zbioru liczb wymiernych i naturalnych. Na jakiej podstawie?
    Z pewnością nie na podstawie indukcji, bo z niej wynika to co powyżej. A zatem pomiędzy zerem a nieskończonością (potencjalną) musi istnieć liczba, przy której dochodzi do “katastrofy indukcyjnej”. Czy takiej liczby nie można nazwać nieskończonością aktualną (indukcyjną)?

  7. Michał Stanisław Wójcik2012-11-30 18:30:15

    Definiacja równoliczności w teorii mnogości jest następująca. Zbiory $A$ i $B$ są równoliczne jeżeli istnieje funkcja różwnowartościowa $f:A\to B$ taka, że $f(A) = B$ (czyli dla każdego elemntu $b\in B$ istnieje taki element $a\in A$, że $f(a) = b$ – o takiej funkcji mówimy, że przekształca zbiór $A$ “na” zbiór $B$). Różnowartościowość oznacza oczywiście, że dla dowolnych dwóch różnych $x,y$, czyli $x\not = y$ zachodzi $f(x)\not= f(y)$.

    Funkcja zaś jest w teorii mnogości rodzajem zbioru. Jeżeli zatem w teorii mnogości dla dwóch zbiorów $A$ i $B$ istnieje taki trzeci zbiór $f$, który jest funckją $f:A\to B$ różnowartościową i “na”, to te zbiory są równoliczne. Równoliczność dwóch zbiorów w teorii mnogości pokazujemy więc przez wykazanie istnienia pewnego trzeciego zbioru. Jeżeli umiemy pokazać, że on istnieje, pokazujemy z definicji równoliczność.

    Jeżeli weźmiemy zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych, a może lepiej zamiast zbioru liczb wymiernych weźmy sobie zbiór par liczb naturalnych czyli $Q = \{(m,n):m,n\in N\}$ (będzie trochę łatwiej), to taka funkcja istnieje i można ją zapisać wzorem. Napiszę pierwszą, która przychodzi mi do głowy, żeby łatwo zapisać. Proszę rozważyć taką funkcję:
    $$ f(n,m) = |\{2^p\cdot 3^q: 2^p\cdot 3^q < 2^n\cdot 3^m\}|$$
    gdzie $|\cdot|$ oznacza liczność “normalnego” skończonego zbioru. Myślę, że różnowartościowość i bycie “na” można dość łatwo wykazać indukcyjnie. Jak będę miał chwilkę, to ten dowód tutaj przedstawię.

  8. Michał Stanisław Wójcik2012-11-30 22:21:25

    Zauważmy, że przekształcenie
    (1)$$(p,q) \to 2^p\cdot 3^q$$
    jest różnowartościowe. Wynika to z tego, że każda liczba naturalna ma jednoznaczny rozkład na czynniki pierwsze. Oznaczmy przez
    $$K = \{ 2^p\cdot 3^q:p,q\in N\}$$
    Dla każdej liczby $k\in K$ istnieją takie $n,m$, że $k = 2^n\cdot 3^m$. $f(n,m)$ oznacza liczbę liczb ze zbioru $K$ mniejszych niż $k$. Zatem różnowartościowość $f$ wynika bezpośrednio z różnowartościowości przekształcenia (1). To że $f$ jest “na” wynika zaś z tego, że w zbiorze $K$ jesteśmy w stanie zanaleźć liczbę najmniejszą, dla pary jej odpowiadającej $f$ wynosi $0$, dalej drugą najmniejszą z kolei, tu $f$ wynosi $1$, i tak dalej dla każdej liczby naturalnej $r$ znajdziemy odpowiednią $r + 1-szą$ najmniejszą liczbę ze zbioru $K$ tym samym znajdziemy parę $(n,m)$, taką że $f(n,m) = r$. W ten sposób dowodzimy, że $f$ jest “na”.

    W tym przejściu od pierwszej najmniejszej, do $r + 1 -szej$ najmniejszej siedzi oczywiście zasada indukcji.

  9. Michał Stanisław Wójcik2012-11-30 22:58:41

    @rz

    Pan napisał, że pokazuje Pan, że liczb wymiernych jest więcej niż naturalnych. Ale jaką definicją “równoliczności” się Pan posługuje?

  10. Michał Stanisław Wójcik2012-12-01 08:37:20

    Przepraszam, chyba niczego takiego Pan nie napisał, a tylko pokazywał, że ułamĸów dziesiętnych pomiędzy $0$ a $n$ jest za każdym razem więcej niż $n$. To prawda. Natomiast z tego faktu nie da się doprowadzić do sprzeczności to, że liczb wymiernych jest tyle samo, co liczb naturalnych. Wspomnianą przez Pana indukcję stosujemy do zdań, które orzekają o liczbie naturalnej. Mamy zdanie $T(n)$ i dowodzimy je w taki sposób, że jeżeli mamy udowodnione $T(0)$ i udowodnioną implikację $T(k) \to T(k + 1)$, możemy powiedzieć, że $T(n)$ jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej. Jeżeli $T(n)$ = “Jest więcej ułamków dziesiętnych pomiędzy $0$ i $n$ niż $n$”, to istotnie to zdanie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej. Ale z tego nie ma przeskoku do orzekania nagle o własności zbioru liczb naturalnych. $T$ orzeka o liczbie naturalnej, nie o zbiorze liczb naturalnych.

    Istotnie za pomocą tak stosowanej indukcji nie pokazujemy równoliczności zbioru liczb naturalnych i wymiernych. Ale właśnie za pomocą indukcji tylko inaczej stosowanej, możemy tą równolicznośc pokazać, tak jak w moim dowodzie powyżej.

    Właśnie w tej chwili wymyśliłem inny, bardziej filozoficzny dowód na równoliczność zbioru liczb naturalnych i wymiernych, proszę chwilę poczekać, napiszę go jako opowiadanie.

  11. Michał Stanisław Wójcik2012-12-01 11:23:50

    Proszę zerknąć na stronę główną. Napisałem opowiadanie, które pokazuje w zabawny sposób, że liczb naturalnych nie jest mniej niż wymiernych.

  12. rz2012-12-03 12:20:38

    “liczb naturalnych nie jest mniej niż wymiernych”

    Żeby się do tego jakoś odnieść, musiałbym najpierw wiedzieć ile elementów jest w zbiorze wszystkich obiektów. Czy ta liczba jest jeszcze naturalna?

    Opowiadanie oczywiście przeczytam i skomentuję.

  13. Michał Stanisław Wójcik2012-12-03 13:07:30

    Żeby się do tego jakoś odnieść, musiałbym najpierw wiedzieć ile elementów jest w zbiorze wszystkich obiektów. Czy ta liczba jest jeszcze naturalna?

    Ale w jakim sensie? W realistycznym może wogóle nie istnieć żadna nieskończoność. Więc w jakim? Jeżeli chodzi o pewne koncepcje, to jest koncepcja liczb naturalnych, koncepcja liczb wymiernych i konstrukcja fukncji, która jedne przekłada na drugie w sposób wyczerpujący. Czy Pan neguje istnienie tej funckji? Nie do końca rozumiem, gdzie jest punkt sporny.

  14. Podgląd live
    Nie opublikowałeś jeszcze tego komentarza! Aby opublikować naciśnij przycisk Opublikuj Komentarz.

Dodaj komentarz