Za ile można kupić wszystkie liczby wymierne?

Gdzieś w równoległym wszechświecie istniały sobie nieśmiertelne istoty. Było ich nieskończenie wiele, a ich wszechświat, jak łatwo można się domyśleć, był nieskończony i miał nieskończoną ilość planet. Istoty te stworzyły bardzo skomplikowany system zarządzania całą swoją społecznością, na którego czele stał Imperator. Miał on bardzo dużo rzeczy. Miał na przykład nieskończoną sieć kosmicznych stacji benzynowych, a na każdej z nich miał ukrytego jednego złotego dukata.

Pewnego dnia Imperator przywołał do siebie swojego najbardziej zaufanego sługę i rzekł do niego.

- Słuchaj, mam już wszystko, co kiedykolwiek chciałem mieć, to strasznie dołujące. Rozumiesz to?
- Próbuję sobie wyobrazić mój Imperatorze. Ale czy naprawdę, nie ma już ani jednej takiej rzeczy, którą Imperator chciałby mieć? Niech pomyślę … A pył międzygwiezdny?
- Zarządziłem w zeszłym tyciącleciu, że należy do mnie.

“Zaraz, zaraz, woda na wszystkich planetach, to oczywiste, metan, węgiel … nie, nie to wszystko Imperator już dawno ma … Może coś abstarkcyjnego …” – myślał intenyswnie sługa.

- Dowcipy! Czy mój imperator jest właścicielem wszystkich dowcipów?
- Tak, wydałem opdowiedni dekret trzy miliony lat temu. Mój drogi, ty chyba nie za bardzo ogarniasz, co dzieje się w Imperium.

Sługa przestraszył się nie na żarty. Istotnie nie śledził ostatnio wszystkich zarządzeń Imperatora. To się nie mogło wydać. Musiał szybko coś wymyśleć.

- Mój Panie, mam! Nie masz jeszcze liczb wymiernych.
- Zapmniałem o nich. Ty masz rację! Fajnie by było je mieć. Ale, ale … liczby wymierne są własnością gubernatora Filipa, na mocy mojego specjalnego przywileju sprzed sześciu milionów lat. Dobra, leć do niego i zapytaj, ile by chciał za nie wszystkie.

Po jakimś czasie sługa powrócił z misji i z nietęgą miną stanął przed obliczem Imperatora.

- Panie, guberantor Filip chce po jednym złotym dukacie za każdą liczbę wymierną. Obawiam się, że tyle nie mamy …
- Co Ty bredzisz? Mam przecież po jednym złotym dukacie na każdej z moich stacji benzynowych, których przecież jest nieskończenie wiele.
- Tak Panie, ale każda z tych stacji ma swój numer, który jest jakąś liczbą naturalną, prawda?
- No prawda. Dokładnie wiem, mam to wszystko w komputerze. Stacje ponumerowane są kolejnymi liczbami naturalnymi od zera do nieskończoności.
- No to nie starczy najłaskawszy Panie. Nie starczy! Przecież liczb wymiernych jest dużo więcej. Pomiędzy każdymi dwoma liczbami naturalnymi znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych. To tak jakby mój Imperator za każdy dukat miał kupić wszystkie liczby wymierne pomiędzy dwoma liczbami naturalnymi. A ten krwiopijca, gubernator Filip, chce przecież za jedną liczbę wymierną całego dukata!

Imperator uśmiechnął się z pobłażliwością.

- Dobry z ciebie sługa, ale na biznesie to Ty się nic nie znasz. Kupię wszystkie liczby wymierne, a tych dukatów jeszcze zostanie.
- Ale jak, mój Panie?

Imperator podszedł do tablicy, która od niepamiętnych czasów stała w jego gabinecie. Wziął do ręki kredę i napisał kilka ułamków \frac{3}{2}, \frac{25}{672}, \frac{1854}{234}.

- Widzisz, każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka, tak?
- Tak jest, mój Panie!
- Następnie każdy ułamek mogę skrócić, do takiej postaci, że dalej skracać już nie można.

Tu Imperator skrócił ułamek \frac{1854}{234} do postaci \frac{927}{117}, a następnie do \frac{309}{39}.

- Dalej skracać już niepodobna.
- Niepodobna, Panie.

- A zatem każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić za pomocą dwóch liczb, licznika i mianownika nieskracalnego ułamka, który jej odpowiada.
- Tak jest, Wielki Imperatorze!
- Teraz uważaj, bo będzie rzecz trudna. Każdą liczbę wymierną, którą posiada gubernator Filip, wezmę w postaci nieskracalnego ułamka. Dalej wyobraź sobie tyle dwójek ile wynosi jej licznik i tyle trójek ile wynosi jej mianownik. Wszystko to pomnóż. Dostaniesz jakąś liczbę. To będzie numer stacji, z której wezmę dukata i zapłacę nim za tę właśnie liczbę wymierną.

Imperator zapisał na tablicy ułamek \frac{7}{5}. Pomnożył siedem dwójek przez siebie i domnożył do tego jeszcze pięć trójek. Zapisał 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 31 104.

- A zatem liczbę \frac{7}{5} kupię za dukata ze stacji numer 31104.
- Da to się zrobić Panie, ale skąd wiesz, że w ten sposób, za którymś razem nie trafisz na stację, z której już nie wziąłeś dukata?
- Bradzo dobre pytanie mój przenikliwy sługo, ale niezbyt bystre. Każdej liczbie wymiernej odpowiada inny nieskracalny ułamek, jeden licznik i jeden mianownik, tak?
- No tak, Panie mój.
- Cóżby to więc znaczyło, że trafiam na stację, z której już zabrałem dukata? Że była już taka inna liczba wymierna, która zaprowadziła mnie na tę stację! Skoro była już wcześniej inna to albo jej licznik musiał się różnić od licznika tej bierzącej, albo mianownik od mianownika, albo i licznik od licznika i mianownik od mianownika. A przecież ilość dwójek i trójek w rozkładzie na czynniki pierwsze numeru tej stacji musi być jednoznaczna. Daną liczbę możesz podzielić przez 2 konkretną ilość razy i również możesz podzielić ją przez 3 też konkretną ilość razy. Weź liczbę 12, możesz ją podzielić przez 2 tylko dwa razy – tu zapisał 12:2 = 6, 6:2 = 3 – a przez 3 tylko jeden raz. – 12:3 = 4 – Tak jest z każdą liczbą. Nie jest więc możliwe, aby jakieś dwie różne liczby wymierne zaprowadziły mnie na tę samą stację.
- Istotnie mój Imperatorze, teraz przekonałeś mnie, że starczy nam dukatów. Mało tego zostanie ich nam dalej nieskończenie wiele. Będziesz je bowiem wybierał ze stacji, których numery są iloczynami jedynie dwójek i trójek, a cała reszta pozostanie nietknięta.

W ten sposób Imperator przekonał też gubernatora Filipa i oboje zgodzili się, że w zamian za prawo do wszystkich liczb wymiernych gubernator Filip otrzyma na własność dukaty leżące na stacjach których numery są iloczynami jedynie dwójek i trójek. Łatwo sprawdzić, które to stacje, a więc gubernator Filip zawsze będzie mógł wziąć dukata, który do niego należy, bez obawy zgubnej dla niego pomyłki.

KOMENTARZE (40)

  1. rz2012-12-04 14:04:11

    - Skoro się już powiedziało A, to trzeba powiedzieć Z – mruknął Imperator i zaczął przygotowywać się do zbierania pieniędzy.
    - Przygotuj wehikuł do drogi. Tylko nie zapomnij, że tym razem będę musiał zebrać trochę więcej dukatów niż zwykle. Sam to przecież powiedziałeś.
    - Tak jest najjaśniejszy Panie. Mechanicy przygotowali specjalną skrytkę bez dna, żebyś mógł bez problemu zmieścić całą należność.
    - A kanapki na drogę przygotowałeś?
    - Oczywiście Imperatorze. Jak zwykle. Musiałem też trochę przeprogramować wehikuł, żeby nie zatrzymał się w trakcie dukatobrania.
    - Dobrze. W takim razie bywaj zdrów. Widzimy się jak zwykle? Za dwie godziny?
    - Jak tylko Wasza Najłaskawszość wróci.

    Imperator wsiadł do wehikułu i przekręcił kluczyk. Pojazd ruszył z kopyta. Dość wolno, bo odległość do pierwszej stacji pokonywał w godzinę. Między drugą a trzecią jechał już dwa razy szybciej i po minięciu każdej kolejnej podwajał swoją prędkość. Dzięki temu Imperator mógł w dwie godziny zebrać wszystkie zarobione w ciągu miesiąca dukaty. Tym razem było jednak trochę inaczej. Miał przecież zebrać dukaty tylko na stacjach, których numer był równy iloczynowi samych dwójek i trójek.
    -Dobra nasza – pomyślał mijając bez zatrzymania stacje o numerach 1,2,3,4 i 5. Zostanie mi na potem sporo dukatów do zebrania i to całkiem blisko Pałacu.
    Jednak gdy wskazówka na zegarze pokładowym zbliżyła się niebezpiecznie do 2 godzin Imperator zaczął się niepokoić. Jak to, przecież normalnie zebrałbym już całe mnóstwo dukatów, a tu nawet dna nie zakryły. Czy aby na pewno uda mi się szybko zebrać całą resztę? Gdy tak rozmyślał pojazd wszedł w prędkości nieskończone i, zamiast jak zwykle zatrzymać się na stacji oznaczonej dwukółkowstążeczką, po prostu zwolnił.
    - No tak przecież jeszcze nie zebrałem nawet tylu dukatów co zwykle, westchnął Imperator. Skąd teraz wezmę całą resztę?
    Istotnie na horyzoncie nie było już widać żadnej stacji, choć pojazd (przeprogramowany) poruszał się cały czas do przodu i nawet przyspieszył po godzinie. Imperator jechał w siną dal.

    Tymczasem w Pałacu zaszły niespodziewane zmiany. Sługa zaprosił gubernatora Filipa, serdecznie podziękował mu za genialny pomysł obalenia tyrana i czym prędzej kazał dokończyć nieskończony mur na granicy Imperium.

    - Nigdy nie wiadomo co się może zdarzyć. Imperator to co prawda skończony osioł, ale zawsze może trafić na jakąś oberżę zanim zje wszystkie kanapki (bez stacji benzynowych daleko przecież nie zajedzie). Lepiej, żeby nie miał wtedy gdzie wracać.

    Morał: Nie kupuj za gotówkę tego, co możesz wziąć na kredyt.

  2. Michał Stanisław Wójcik2012-12-04 15:05:27

    Ale czemu on nie zebrał tych dukatów, tego nie rozumiem. Tak jak rozumiem ten epilog, to od każdej stacji do następnej leciał 2 razy szybciej niż poprzednio. Zakładając, że do pierwszej doleciał w godzinę, istotnie w 2 godziny powinien uporać się ze wszystkim. Faktycznie, pytanie co stałoby się z nim po upływie 2 godzin jest ciekawe z punktu widzenia filozoficznego, ale czemu przez te 2 godziny miałby nie zebrać nieskończonej ilości dukatów?

    Nie rozumiem też tej stacji oznaczonej dwukółkowstążeczką. Każda stacja miała mieć numer będący liczbą naturalną, takiej stacji więc po prostu nie ma. Tz. możemy ją sobie wyobrazić na granicy nieskończonego wszechświata – tyle, że nie wiem, czy to ma jakikolwiek sens w tym przypadku.

  3. rz2012-12-05 16:27:03

    Żeby wyjaśnić tę kwestię, należałoby przypomnieć, iż nasza opowieść dzieje się w świecie nieskończonym. Nieskończone stacje nie przynoszą jeszcze całego dukata zysku, a tylko jego pewną część. Pierwsza – jego połowę, druga – połowę połowy itd… W sumie z tych kawałków uzbiera się jednak cały dukat.

    Tego właśnie całego dukata zbierał nasz Imperator podczas swoich dwugodzinnych podróży. Tym razem jednak nie był w stanie, bo nie uwzględnił stacji na których dukaty były najbliższe całości. Zresztą nawet gdyby nie uwzględnił tylko jednej stacji, choćby bardzo, bardzo odległej, to i tak nie udałoby mu się zebrać pełnego dukata, więc swoją podróż kontynuowałby dalej, a tam dukatów nie było w ogóle, bo stacje nie były nawet zaczęte (o skończeniu nie wspominając).

    Co do znaczka dwókółkowstążeczki, sprawa wydaje się jeszcze prostsza. Po skończonym dukatobraniu Imperator zawsze się zatrzymywał i zawsze robił to w tym samym miejscu, choć nigdy nie zadał sobie trudu by dokładnie porachować wszystkie stacje po drodze (robił to za niego dość tajemniczy wehikuł). Chcąc jednak jakoś odróżnić stację przy której zawsze odpoczywa po trudach podróży, od nieskończenie wielu innych przybił specjalną, nigdy wcześniej nie użytą tabliczkę. A znaczek? Cóż, taki sam dobry, jak każdy inny. Ważne, że do niczego innego się nie odnosi.

  4. Michał Stanisław Wójcik2012-12-05 18:07:03

    W mojej historyjce na każdej stacji był ukryty jeden dukat. U Pana jeden dukat był na wszystkich? Po części dukata na każdej?

  5. rz2012-12-10 19:16:13

    Najlepiej połączmy obie wersje. Wehikuł pobiera całego dukata wraz z ułamkowym pokwitowaniem. Po zebraniu wszystkich dukatów (ciężko je policzyć, bo jest ich nieskończenie wiele) dostajemy także pełną sumę pokwitowań (a tu łatwo sprawdzić, czy czegoś nie brakuje).

    Jeśli dostalibyśmy pokwitowanie bez dukata, to nie bylibyśmy już w stanie uzupełnić tego braku na żadnej z następnych stacji, bo dukata bez pokwitowania nikt nam przecież nie da.

    Dokładnie tak jak w metodzie przekątniowej Cantora, o której postaram się napisać notkę.

  6. Michał Stanisław Wójcik2012-12-10 20:56:31

    No dobrze, dobrze, ale w mojej historyjce Imperator kupił wszystkie wymierne po dukacie za sztukę, czy nie? Może Pan definiować inne sensy równoliczności przez inne historyjki, ale prosze powiedzieć, czy zgadza się Pan, że tutaj jest wszystko w porządku. W tym sensie liczb wymiernych jest na pewno nie więcej, tak?

  7. Robakks2012-12-13 17:58:52

    W tym sensie liczb wymiernych jest na pewno nie więcej, tak?

    No niezupełnie…
    Z opisu, który podał rz wynika, że aby w skończonym czasie mógł Imperator odwiedzić nieskończoną ilość stacji, to musi każdą kolejną stację zaliczać w czasie i połowę krótszym od poprzedniego i w dowolnym momencie czasowym licznik stacji będzie pokazywał jakąś liczbę.
    Niech ta liczba po upływie 2 godzin ma nazwę ∞.
    W zapisie 10-tnym to będzie ∞/10 pozycji, więc w tym momencie powinien pobrać dukata ze stacji 2^(∞/10) tylko że takiej stacji NIE MA,
    bo przecież Imperator ma tylko ∞ stacji…
    Dla liczb większych od ∞ nie ma już dukatów… :(

  8. Michał Stanisław Wójcik2012-12-13 19:39:42

    @Robakks

    Nie rozumiem. Odnosiłem się do mojej historyjki. Pytanie było do niej. Czy wynika z niej, że liczb wymiernych jest nie więcej. W mojej historyjce Imperator nigdzie nie lata on tylko ustala stacje na których dukaty będą należeć do guberantora Filipa, tak aby za każdą liczbę wymierną dostał dostał on jeden dukat.

    Pytanie co będzie po dwóch godzinach w historyjce “rz” to jest ciekawe pytanie filozoficzne, ale nie wiem, czy potrafimy na nie sensownie odpowiedzieć. Mi się wydaje, że po 2 godzinach on jakby w ogóle ‘wylatuje’ ze wszechświata, więc nie wiem, czy ma sens mówienie o jakiejś stacji z numerem $\infty$. Ogólnie można zbiór liczb naturalnych poszerzać o ‘kolejne’ liczby ‘nieskończone’ – ale ja wcale nie jestem przekonany, czy to nam tutaj pomaga.

    Tak, czy siak ponawiam pytanie. Czy moi szanowni rozmówcy zgadzają się z tym, że przekształcenie $(n,m) \to 2^n3^m$ pokazuje (w takim sensie w jakim zostało to określone), że wszystkie liczby wymierne jesteśmy w stanie zmieścić w zbiorze liczb naturalnych? Pytam o to konkretnie rozumowanie.

  9. Robakks2012-12-13 20:37:48

    Kluczem do odpowiedzi na to pytanie jest słowo ‘wszystkie’.
    Skąd można mieć pewność, że wszystkie stacje zostały odwiedzone?
    Taką pewność podsunął rz podając sposób. Bez określenia ile to jest ‘wszystkie’ nie da się odpowiedzieć na pytanie czy wszystkie liczby wymierne określone równoważnikiem (n,m)→2^n*3^m
    mają swoją reprezentację w zbiorze ‘wszystkie’ np.
    czy
    ∞*∞*∞*∞*∞ należy do zbioru ‘wszystkie’ i czy jest to inna stacja od ∞*∞*∞*∞*∞ – 1

    Podałem propozycję by ten zbiór ‘wszystkie’ nazwać

    Proszę uściślić: co znaczą słowa wszystkie liczby wymierne.
    Wszystkie, a więc ILE?

  10. Michał Stanisław Wójcik2012-12-13 22:38:42

    A nie wystarcza, że dla każdej liczby wymiernej znajduję przyporządkowaną jej liczbę naturalną? Skoro dla każdej, to w jaki sposób jakaś mogłaby zostać bez przyporządkowania? Jeżeli uważa Pan, że którąś liczbę opuściłem, proszę ją nazwać.

  11. Michał Stanisław Wójcik2012-12-13 22:50:49

    Poza tym, nie mówiłem nigdzie o odwiedzaniu stacji. Nie mówiłem, że wszystkie stacje będą odwiedzone. Pokazywałem, że każdej liczbie wymiernej przyporządkowuję stację. Mam wrażenie, że Pan się nie odnosi do mojego rozumowania.

  12. Robakks2012-12-13 22:52:31

    A skąd wiadomo, że dla każdej?
    Ta liczba, która w przykładzie rz przypada w chwili równe dwie godziny ma nazwę , a poprzedzały ją liczby ∞-1, ∞-2, ∞-3 itd.
    Gdy taka liczba znajdzie się w liczniku liczby wymiernej
    -to-
    jaką liczbę naturalną będzie miała przypisaną?

  13. Michał Stanisław Wójcik2012-12-13 23:07:52

    Rozważanie na temat tego, co się stanie po tych dwóch godzinach to jedno – wcale nie jestem przekonany, że wehikuł zatrzyma się lub nawet minie stację oznaczoną $\infty$ – możliwe, że nie ma takiej stacji – a zgodzenie się co do tego, że każdej parze liczb naturalnych $(m,n)$ przyporządkuję $2^n3^m$ to drugie. Tak rozumiemy liczby naturalne, że możemy zawsze jedną liczbę naturalną podnieść do potęgi, która jest inną dowolną liczbą naturalną. Jeżeli tak nie jest, to nie mówimy już o liczbach naturalnych a jakimś innym tworze. Ja wypowiadałem się o liczbach naturalnych – w pewnym konkretnym ujęciu i pytam o to ujęcie. Jeżeli Pan chce mówić o innym ujęciu – to prosze określić, co rozumie Pan przez liczby naturalne.

  14. Robakks2012-12-14 09:48:00

    ARYTMETYKA   i   GEOMETRIA

    Liczby naturalne to takie liczby całkowite n, którymi numerowane są pozycje po przecinku ułamka dziesiętnego nieskończonego
    0,999… = 0,(9) = 1

    Liczby naturalne tworzą zbiór liczb naturalnych   ℕ   będący podzbiorem liczb porządkowych Lp.
    Do liczb porządkowych Lp należą oprócz liczb naturalnych także takie liczby całkowite dodatnie, które nie występują w numerach pozycji po przecinku ułamka 0,999… np liczba ω (będąca pierwszą liczbą pozaskończoną) czy liczba continuum = ℂ wyrażająca ilość punktów na odcinku jednostkowym, a także liczba ℝ, która określa ilość wszystkich punktów na dodatniej półosi osi liczbowej.

    Liczby ω , ℂ i ℝ nie są liczbami naturalnymi, a są całkowite, dodatnie i powstają rekurencyjnie przez dodanie +1 do liczby poprzedzającej. Gdy za J. Wallisem ilość wszystkich liczb naturalnych w zbiorze ℕ nazwiemy nieskończonością
    -to-
    następnikiem tej liczby jest właśnie ω = ∞ +1
    Cantor zaproponował, by ℂ było zbiorem potęgowym ℕ i przy tym postulacie
    ℂ = 2^
    bowiem ℕ i wyraża to samo: ℕ =

    Pojedyncza liczba ze zbioru ℕ w proporcji do całego zbioru to ułamek 1/∞ i ta proporcja stanowi różniczkę całości 1
    * 1/∞ = 1
    Występująca w fizyce różniczka czasu Newtona dt to właśnie 1/∞ z t

    Desygnatem zbioru liczb naturalnych ℕ jest zbiór kroków od pierwszego do ostatniego, które wykonał Achilles goniąc żółwia (paradoks Zenona).
    Achilles wykonuje kroków, a ostatni ma długość 1/ℂ. W tym momencie (chwila dt) bieg się kończy, bo nieskończoność (granica) została osiągnięta.

    Powyższe dotyczy nauk ścisłych: arytmetyki, geometrii i fizyki.
    Nie dotyczy natomiast innych teorii, w których Achilles nie dogania żółwia z założenia, a więc nie dotyczy teorii sprzecznych z rzeczywistością obiektywną. Piszę o matematyce w której działają prawa rozumu.

    PS. Ten post z uwagi na treść powielam na swój blog:
    http://robakks.salon24.pl/
    Tam dyskusja może być ciekawsza z uwagi na lepsze możliwości formatowania tekstu i uzupełnianie opisu rysunkami.

  15. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 11:13:53

    Proszę Pana to wszystko są koncepty podobne do tych, które są znane logikom, nie są one w ‘obowiązującym’ ujęciu liczb naturalnych, bo pozostałe ujęcia okazały się jednak mniej praktyczne. Wprowadzanie liczb nieskończenie małych i nieskończenie wielkich, jak już wiele razy pisałem, jest możliwe i robi się to. Wiemy dobrze jakie aksjomaty należy usunąć z systemu, a jakie dodać, aby dostać pewne liczby nieskończenie wielkie, czy nieskończenie małe. To tak w maksymalnej ogólności oczywiście. Tylko, że szczegółowe badania logiczne nad tymi konceptami pokazują, że generują one również problemy. Dlatego na ten moment w matematyce za standardowe uważa się podejście Teorii Mnogości. Proszę mnie najpierw przekonać, że oboje równie dobrze rozumiemy to standardowe podejście (bardzo przepraszam, ale mało się znamy), a potem będziemy rozważać nad możliwościami zastąpienia go przez inne. Rozumiem, że jeżeli krytykuje Pan Teorię Mnogości, to dobrze ją Pan zna. Jak już wiele razy podkreśliłem – nie ma żadnych dowodów, aby jakakolwiek nieskończoność istniała w rzeczywistości, a zatem to są wszystko jedynie filozoficzne dywagacje. Z tym, że jedne mogą być bardziej przekonujące, inne mniej.

  16. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 11:33:35

    Zatrzymajmy się na Pańskiej definicji liczb naturalnych.

    Liczby naturalne to takie liczby całkowite n, którymi numerowane są pozycje po przecinku ułamka dziesiętnego nieskończonego
    0,999… = 0,(9) = 1

    Nie wiem, czy rozumiem tę definicję. Korzysta ona z pojęcia liczby (całkowitej?).

    A co Pan powie o takiej definicji: Liczby naturalne to $1, 1+1, 1+1+1, \dots$ i tak dalej gdzie reguła kostrułowania jest prosta: w każdym kroku dodajemy jeden znak plus i jedynkę do liczby z kroku poprzedniego. Czy Pan się zgodzi na taką definicję? Czy jest ona zrozumiała?

  17. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 11:44:39

    Jeżeli chodzi o konstruownie paradoksów z liczbami naturalnymi, pomogę Panu nieco i zwrócę uwagę na następujący:

    Na stole jest szklanka i moneta. Po godzinie od ustalonego czasu $0$ wkładam monetę do szklanki, następnie po upływie półgodziny wyjmuję, następnie po upływie kwadransa, znowu wkładam i tak dalej i tak dalej, zawsze po upływie odcinka czasu o połowę krótszego niż poprzedni, wyjmuję monetę, jeżeli jest ona w szklance, wkładam do szklanki, jeżeli jest ona poza szklanką. Pytanie: Co będzie w szklance po upływie 2h? Jak Pan na to odpowie stosując jakiekolwiek podejście do liczb naturalnych?

  18. Robakks2012-12-14 12:38:48

    A co Pan powie o takiej definicji: Liczby naturalne to 1,1 + 1,1 + 1 + 1,… i tak dalej gdzie reguła kostrułowania jest prosta: w każdym kroku dodajemy jeden znak plus i jedynkę do liczby z kroku poprzedniego. Czy Pan się zgodzi na taką definicję? Czy jest ona zrozumiała?

    Odpowiedź zamieściłem na
    http://Robakks.salon24.pl/472136,edyskurs-pl-swiat-nieznany#comment_7020039
    w notce    eDyskurs.pl – świat nieznany

  19. Robakks2012-12-14 12:42:31

    Mój post który wysłałem 5 minut temu nie pojawił się.
    Proszę odnaleźć odpowiedź na moim blogu.
    Edward Robak

  20. Robakks2012-12-14 16:41:17

    Na stole jest szklana i moneta. Po godzinie od ustalonego czasu wkładam monetę do szklanki, następnie po upływie półgodziny wyjmuję, następnie po upływie kwadransa, znowu wkładam i tak dalej i tak dalej, zawsze po upływie odcinka czasu o połowę krótszego niż poprzedni, wyjmuję monetę, jeżeli jest ona w szklance, wkładam do szklanki, jeżeli jest ona poza szklanką. Pytanie: Co będzie w szklance po upływie 2h? Jak Pan na to odpowie stosując jakiekolwiek podejście do liczb naturalnych?

    Liczba jest parzysta, a więc po upływie 2h w szklance nie będzie monety.
    Pytałem co znaczą słowa wszystkie liczby wymierne.
    Pytałem co to znaczy, że dla każdej liczby wymiernej znajduję przyporządkowaną jej liczbę naturalną.

    Czy to oznacza, że jeśli wszystkie liczby wymierne zostaną przeliczone i dla każdej liczby wymiernej znajduje się przyporządkowaną jej liczbę naturalną
    -to-
    przyporządkowanie zostało zakończone?
    A jeśli tak to jaka była ostatnia przyporządkowana liczba?

  21. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 17:26:23

    Liczba ∞ jest parzysta.

    Czyli jest taka liczba naturalna $\infty/2$, tak?

  22. Robakks2012-12-14 18:18:16

    Czyli jest taka liczba naturalna ∞/2 , tak?

    Oczywiście. Jeśli odcinek o długości 1 podzielimy na
    -to-
    ∞/2 będzie w połowie odcinka.

  23. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 18:49:36

    A gdzie w takim razie była stacja o numerze $\infty/2$ w historyjce rz?

  24. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 19:08:25

    A w ogóle jak sobie Pan to wyobraża, że w którymś momencie nastąpił jakiś ostatni krok $\infty$, w którym moneta została wyjęta ze szklanki? To w takim razie, kiedy nastąpił krok $\infty/2$. Jeżeli krok $\infty$, według Pana nastąpił równo po 2h (proszę mnie poprawić jeżeli się mylę), to kiedy nastąpił krok $\infty/2$?

  25. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 19:42:32

    Co to znaczy wszystkie liczby wymierne?

    Jeżeli wiemy co to są wszystkie liczby naturalne, to liczby wymierne są to liczby postaci $\frac{n}{m}$ gdzie $n,m$ są naturalne. Wszystkie liczby wymierne, to wszystkie liczby mające taką postać. Czy to wystarczy?

    Co oznacza, że każdej liczbie wymiernej przyporządkowuje jakąś naturalną?

    Biorę liczbę wymierną w postaci nieskracalnego ułamka i robię przyporządkowanie $\frac{p}{q} \to 2^p3^q$, w ten sposób każdej liczbie wymiernej przyporządkowuję unikalną liczbę naturalną.

    Czy to oznacza, że jeśli wszystkie liczby wymierne zostaną przeliczone i dla każdej liczby wymiernej znajduje się przyporządkowaną jej liczbę naturalną
    -to-
    przyporządkowanie zostało zakończone?
    A jeśli tak to jaka była ostatnia przyporządkowana liczba?

    Tu właśnie się różnimy, Pan rozwija nieskończony proces, kompresuje go na skończonym odcinku czasu (metoda o połowę krótszych odcinków czasu – ok) i twierdzi, że był jakiś ostatni krok $\infty$. Ja nie mogę się z tym zgodzić, bo po pierwsze nie rozumiem skąd by miał się wziąć ten ostatni krok skoro nie ma go w opisie problemu, a po drugie, nawet przymykając na to pierwsze oko, nie wiem gdzie byłby wtedy krok $\infty/2$. To się po prostu wydaje niespójne.

  26. Robakks2012-12-14 22:36:55

    Jeżeli wiemy co to są wszystkie liczby naturalne …

    To już wiemy:
    ———————————————————————————
    Liczby naturalne to takie liczby całkowite n, którymi numerowane są pozycje po przecinku ułamka dziesiętnego nieskończonego
    0,999… = 0,(9) = 1
    ———————————————————————————
    0,999…    <= dziewiątek jest
    0,099…    <= dziewiątek jest ∞-1
    9,999…    <= dziewiątek jest ∞+1

    Nieskończoność jest liczbą arytmetyczną .

    nie wiem gdzie byłby wtedy krok ∞/2

    Proszę pomyśleć: gdy jest na końcu, to ∞/2 jest w połowie.

  27. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 23:12:29

    Jeżeli jest w połowie, to w jakim czasie zostaje osiągnięta?

  28. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 23:27:37

    Poza tym proszę dookreślić. Czy według Pana $\infty$ jest liczbą naturalną? Pierwsza dziewiątka w liczbie 0,999… = 0,(9) = 1 ma numer 0, czy 1?

  29. Michał Stanisław Wójcik2012-12-14 23:48:26

    Proszę mi też powiedzieć, czy $\infty$ jest podzielne tylko przez $2$? Czy może też przez $3$? Przez $4$? Przez jakie liczby jest ona podzielna?

  30. Robakks2012-12-15 00:19:18

    Pierwsza dziewiątka w liczbie 0,999… = 0,(9) = 1 ma numer 0, czy 1?

    Pozycje po przecinku ułamka dziesiętnego numerowane są od 1

    Czy według Pana ∞ jest liczbą naturalną?

    jest ostatnią największą liczbą naturalną. Jej poprzednik ∞-1 jest przedostatnią liczbą naturalną. A następnik liczba ∞+1 = ω nie jest liczbą naturalną, bo nie ma takiej pozycji po przecinku w ułamku 0,999… = 0,(9)

    Jeżeli jest w połowie, to w jakim czasie zostaje osiągnięta?

    Przy równomiernym rozłożeniu stacji i przy prędkości jednostajnej, środkowa stacja zostaje osiągnięta w połowie całego czasu.
    Trzeba pamiętać, że punktów na odcinku jest continuum a stacji tylko więc pomiędzy dwoma stacjami których jest jest conajmniej punktów, które stacjami nie są, a w tym tematyczne liczby wymierne.

    Proszę mi też powiedzieć, czy ∞ jest podzielne tylko przez 2? Czy może też przez 3? Przez 4? Przez jakie liczby jest ona podzielna?

    W arytmetyce nie ma zakazów i każdą liczbę można podzielić przez 2, 3, √2, π i co tam komu pasuje. O tym czy ∞/n jest podzielna bez reszty decyduje umowa. Gdy z umowy wynika, że
    = 2∙3∙4∙5 itd to oczywiście podzielna jest.

  31. Michał Stanisław Wójcik2012-12-15 00:24:57

    Jeżeli $\infty$ jest liczbą naturalną, to chyba wszystkie jej podzielniki są określone. Pan twierdzi, że $\infty$ dzieli się na 2, mnie ciekawi, czy $\infty/2$ dzieli się na dwa, a jeśli tak to ile razy można tak wykonać kolejne dzielenie przez 2. Chodzi oczywiście o dzielenia, które w wyniku też dają liczbę naturalną.

  32. Michał Stanisław Wójcik2012-12-15 00:28:03

    I nie rozumiem tego o umowie. Normalnie jak biorę liczbę naturalną, to ona albo dzieli się przez 3 albo się nie dzieli. Jeżeli $\infty$ jest liczbą naturalną, to też albo się dzieli na $3$ albo nie dzieli. To jak jest? (Mówiąc dzieli mam cały czas na myśli, czy wynik dzielenia będzie liczbą naturalną)

  33. Robakks2012-12-15 00:40:32

    Jeżeli ∞ jest liczbą naturalną, to chyba wszystkie jej podzielniki są określone.

    Bardzo ciekawe. Ludzie bez komputera nie potrafią określić podzielników liczb dłuższych niż 12978189 cyfr w zapisie dziesiętnym, a więc o liczbach dłuższych nie potrafią powiedzieć czy są liczbami pierwszymi – jak więc mogą znać wszystkie jej podzielniki liczb nieskończenie dłuższych?

    Pan twierdzi, że ∞ dzieli się na 2, mnie ciekawi, czy ∞/2 dzieli się na dwa, a jeśli tak to ile razy można tak wykonać kolejne dzielenie przez 2.

    Liczba jest parzysta, bo tak wynika z wzoru Wallisa na π/2.
    Inne własności trzeba odkrywać lub przyjąć jakąś praktyczną umowę.

  34. Michał Stanisław Wójcik2012-12-15 01:32:41

    A zatem nie wiemy, czy $\infty$ dzieli się na 3, czy możemy to sobie ustalić na mocy umowy? Jeżeli nie wiemy, to ja jestem w stanie to zrozumieć. Z tym, że dalej jest prawdą, że ona albo się dzieli na 3, albo się nie dzieli. Natomiast ustalanie czy liczba naturalna jest podzielna na 3 na mocy konwencji wydaje się mocno podejrzane.

    Genralnie nie chce mi się już o tym więcej dyskutować. Na razie ja nie widzę tu nic więcej niż wałkowanie niestandardowego modelu PA. Operacja rozszerzania tzw. standardowego modelu liczb natutralnych o jakąś dodatkową stałą jest bardzo dobrze znana i opisana (np. A. Grzegorczyk, Podstawy logiki matematycznej). Według mnie Pan nie zrobił nic innego jak dodał kolejną stałą, którą nazwał Pan ostatnią liczbą naturalną. Wiadomo, że tak się da (tz. nikt jej nie nazywa ostanią liczbą naturalną, ale w sumie czemu nie – możemy się uprzeć, że wszystkie większe nie są już naturalne) i że będzie to dalej niesprzeczne w PA, więc wszystko dalej będzie wyglądało spójnie. Pan jeszcze zdaje się dodaje, że indukcja urywa się na tej liczbie, tak? To też będzie niesprzecznie – to będzie tylko taka słabsza zasada indukcyjna. Może więc Pan utrzymywać, że tak jest. Może Pan twierdzić, że tych 9 w rozwinieciu jest właśnie ta liczba – to też jest, wydaje mi się, ok. Zapewniam Pana, że dla matematyka logika – sprawa jest zupełnie przejrzysta i dokładnie wiadomo co Pan usiłuje zrobić i gdzie Pan dojdzie. To po prostu już wszystko jest zrobione i to zupełnie ściśle.

    Możnaby się jeszcze przyjrzeć temu co mówi Pan o ilości punktów w odcinku, nie odpowiadam za to, czy tam się nie kryją sprzeczności, bo nie mam za dużo czasu się nad tym skupić. Proponuję zaksjomatyzować system i przekonać się, czy nie ma w nim sprzeczności, bądź poczytać jak zrobili to inni.

    Pozdrawiam i życzę postępów na drodze do prawd o nieskończoności.

  35. Robakks2012-12-15 08:41:39

    Natomiast ustalanie czy liczba naturalna jest podzielna na 3 na mocy konwencji wydaje się mocno podejrzane.

    W arytmetyce nie ma nic podejrzanego w zapisie  √2/3,  π/3,  ∞/3   bowiem te zapisy są ścisłe i jednoznaczne.
    ∞/3 * 3/∞ = 1 <= symetria względem 1

    Genralnie nie chce mi się już o tym więcej dyskutować. Na razie ja nie widzę tu nic więcej niż wałkowanie niestandardowego modelu PA.

    Opisywałem elementarz liczb nieskończonych:
    0,999… <= dziewiątek jest ∞
    0,099… <= dziewiątek jest ∞-1
    9,999… <= dziewiątek jest ∞+1
    Nieskończoność ∞ jest liczbą arytmetyczną . Wiedząc (sic!) powyższe można policzyć ile jest możliwości zapisu ułamków m/n w dowolnym systemie zapisu np. w systemie dziesiętnym, w którym największą liczbą jest (9),(9) można zapisać tylko (9) liczb całkowitych, a ta liczba jest większa od .
    Ułamków nazywanych “liczby wymierne i niewymierne” jest znacznie więcej i to też łatwo policzyć ILE, bo to klasyczna, elementarna kombinatoryka.
    Takie ułamki jak (5∙∞ – 3)/77 są w teorii nieznane, a ja piszę o arytmetyce i bardzo proszę nie łączyć tych dziedzin. Tu ani teoria mnogości, ani modele niestandardowe nie mają zastosowania, bo wychodzą bzdury.

    Proszę przemyśleć tę sentencję:
    Aby zrozumieć arytmetykę, trzeba zapomnieć o teorii:
    własności liczb się odkrywa i bada — a nie zakłada.
    ZAŁOŻENIE NIE JEST AKSJOMATEM

  36. Michał Stanisław Wójcik2012-12-15 09:23:24

    Proszę Pana to czego Panu brakuje do wypowiadania sądów o tym, co jest znane, a co nie, to literatura przedmiotu. Oczywiście, że ułamki $(5\cdot\infty – 3)/77$ są w ‘teorii’ znane. Tylko nie robi się tego ani w szkole średniej, ani raczej nie ma tego w programach studiów. To są po prostu zaawansowane rzeczy i trzeba wpierw zrozumieć dobrze podstawy, aby się za to zabierać. Pan sobie może powiedzieć, że model niestandardowy nie ma tu zastosowania, a ja widzę, że wszystkie Pana zdania o tych ‘nowych’ liczbach są takie jakby stosował Pan PA na modelu niestandardowym i wprowadził swoją meta definicję nieskończoności. Więc co mam powiedzieć.

    Pana stwierdzenie, że własności liczb się bada a nie zakłada, jest również dla dobrego matematyka stwierdzeniem trywialnym. Każdy kto zna historię matematyki, wie, że najpierw badano własności, a potem zorientowano się, że można wypisać minimalną ilość podstawowych własności i potem z nich dowodzić resztę. Ta droga ma oczywiście znane dla metematyków ograniczenia. To jest oczywiste, że najpierw się bada liczby, a potem formułuje się aksjomaty. Natomiast sformułowanie aksjomatów daje pewną wiedzę, zaczynamy bowiem rozumieć, co możemy wykazać, stosując takie a takie założenia. Dzięki temu ja teraz widzę, że nie doprowadzę do sprzeczności Pana modelu łatwymi operacjami arytmetycznymi, bo po prostu wiem, że jest on generalnie spójny.

    Na koniec proszę sobie przemyśleć tę sentencję:
    TYMI DROGAMI CHODZIŁO JUŻ WIELU :-)

  37. Michał Stanisław Wójcik2012-12-15 09:51:17

    Poza tym ja się pytam Pana, czy liczba jest podzielna przez $3$, a Pan pisze, że nie ma nic podejrzanego w zapisie $\infty/3$. Wyjaśniam jeszcze raz: Jeżeli pytam o podzielność liczb naturalnych to pytam o to, czy wynik tego dzielenia jest liczbą naturalną. To się oznacza przez taką pionową kreseczkę czasami. $p|q$ znaczy $p$ dzieli $q$. Definicja tej relacji jest następująca Dla $p$ i $q$ naturalnych $p|q$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna $k$, że $p\cdot k = q$. Jest to zrozumiałe w Pana arytmetyce? Więc w Pana modelu albo $3|\infty$ albo nie, a nie jest to kwestia konwencji – jeżeli upiera się Pan, że $\infty$ jest konkretną liczbą naturalną. Jeżeli liczby się bada, a nie zakłada o nich, to nie może Pan sobie tego założyć jak Pan chce, tylko mógłby Pan to jedynie odkryć, zgadzamy się?

  38. Robakks2012-12-15 16:18:57

    trzeba wpierw zrozumieć dobrze podstawy

    Zgoda. Gdy mowa o arytmetyce – to zrozumienie podstaw rozciąga się na zrozumienie kwestii zaawansowanych. Bez podstaw nie ma arytmetyki.

    Dzięki temu ja teraz widzę, że nie doprowadzę do sprzeczności Pana modelu łatwymi operacjami arytmetycznymi, bo po prostu wiem, że jest on generalnie spójny.

    Arytmetyka, to nie jest mój model lecz dorobek ludzkości tworzony przez tysiąclecia. Ja tutaj nic nowego nie tworzę. Stwierdzam tylko, że jeśli myśliciele nazwali szereg nieskończony:
    9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + 9/10^4 + … = 0,9999…
    słowami ułamek dziesiętny nieskończony i zbadali, że suma wyrazów tego szeregu, a więc wielkość ułamka jest równa “1″
    to ja stwierdzam na podstawie ich dorobku, że
    aby suma ta mogła mieć rzeczywistą wielkość 1
    to muszą być dodane ‘wszystkie’ składniki
    i tej ilości ‘wszystkie’ nadaję nazwę

    0,999…   <= dziewiątki ‘wszystkie’
    0,099…   <= dziewiątki mniej niż ‘wszystkie’
    9,999…    <= dziewiątki więcej niż ‘wszystkie’

    TYMI DROGAMI CHODZIŁO JUŻ WIELU :-)

    Wiem. Wallis, Kartezjusz, Newton, Cantor. Bez nich nie byłoby mnie.

    Więc w Pana modelu albo 3|∞ albo nie, a nie jest to kwestia konwencji

    Ależ to wyłącznie sprawa konwencji absolutnie bez znaczenia dla faktu zakończenia podziału połówkowego po ilości kroków. O liczbie π wiemy prawie nic, bo nikt nie zbadał tego rozwinięcia w obszarach gdzie nie sięga technika obliczeniowa i możliwości zapisu – a to wcale to tej liczby nie dyskredytuje. Można nie wiedzieć, czy 3|∞ ale trzeba wiedzieć, że to ostatnia największa liczba naturalna w zbiorze N, bo ta wiedza pozwala policzyć ilość liczb wymiernych, gdy staje się jednostką.

    Jeżeli liczby się bada, a nie zakłada o nich, to nie może Pan sobie tego założyć jak Pan chce, tylko mógłby Pan to jedynie odkryć, zgadzamy się?

    No oczywiście, że tak. Jeśli dla kogoś 3|∞ nie jest bytem ponad potrzebę, to może to sobie zbadać. W arytmetyce nie ma zakazów. Potrzebne mu/jej to do szczęścia, to czemu miałoby się zabraniać ludziom, by byli szczęśliwi?
    Mnie to aktualnie nie jest potrzebne, więc nie badam. Bardziej interesują mnie przejścia między wymiarowe np:
    3∙continuum cm = 3 cm^2

    Rzecz prawdopodobnie matematyce współczesnej zupełnie nie znana… (?)
    Długość odcinków dłuższych niż można mierzyć polem powierzchni np. krzywa Hilberta, która jest dłuższa od osi liczbowej.

  39. Michał Stanisław Wójcik2012-12-15 16:58:04

    Wie Pan co? Zostawiam Pana z tym :-) Serdecznie pozdrawiam.

  40. Robakks2012-12-15 20:12:41

    Wie Pan co? Zostawiam Pana z tym :-) Serdecznie pozdrawiam.

    Dziękuję za serdeczności, a zamiast wniosku puenta:
    dopóki do arytmetyki nie wprowadza się aksjomatyki teoriomnogościowej
    -to-
    nauka ta radzi sobie z każdym problemem bez niepotrzebnych paradoksów i wieloznaczności.

    Problemem nie jest więc znaleźć dobre rozwiązanie,
    ale problemem jest:
    jak przekonać ludzi, że lepiej zmierzyć niż wierzyć?

    Wesołych Świąt.

  41. Podgląd live
    Nie opublikowałeś jeszcze tego komentarza! Aby opublikować naciśnij przycisk Opublikuj Komentarz.

Dodaj komentarz