Konwencjonalność zasady zachowania pędu

Artykuł ten znajduje się tutaj dla spójności dyskusji. Dzięki uwagom Magdy powstała wersja poprawiona. Proszę się więc nie męczyć z poniższym, tylko od razu przejść do tego drugiego

Zasada zachowania pędu

Pęd danego punku materialnego jest to iloczyn jego masy i prędkości. W przypadku, gdy rozważamy układ wielu punktów materialnych, które poruszają się w różnych kierunkach, ich prędkości rozumiemy jako wektory skierowane wzdłuż chwilowej linii ruchu o zwrocie zgodnym z kierunkiem ruchu i długości równej liczbowej wartości prędkości. Wektor pędu jest więc zgodny co do zwrotu i kierunku z wektorem prędkości, tylko jego długość jest równa liczbowej wartości prędkości pomnożonej przez masę punktu materialnego. Mówiąc, że pęd układu punktów materialnych jest zachowany mamy na myśli fakt, że wektorowa suma pędów wszystkich punktów materialnych układu jest stała w czasie. Wektory dodajemy, oczywiście sumując współrzędne.

Prędkość jednak jest względna. Zatem pęd również jest względny. Zasada zachowania pędu nie zachodzi wobec dowolnego obserwatora układu. Łatwo się o tym przekonać. Wyobraźmy sobie ziemię jako wielką metalową kulę, na której stoimy. Z kosmosu spada na ziemię plastelinowa kula, powiedzmy wielkości dużego arbuza. W momencie uderzenia rozpłaszcza się na jej powierzchni. Co stało się z pędem plastelinowej kuli? Obserwator przed uderzeniem obserwował spory pęd układu, a po uderzeniu wszystko jest statyczne i pęd układu wynosi dla niego zero. Fizyk odpowie być może tak:

Pęd układu został zachowany. Rozpatrzmy to zdarzenie z punktu widzenia jakiegoś niezależnego punktu obserwacyjnego. Spadająca kula przekazała swój pęd ziemi, ale ponieważ ziemia ma bardzo dużą masę, realizuje pęd plastelinowej kuli poruszając się z bardzo małą prędkością. Tego ruchu ziemi obserwator stojący na niej, nie jest oczywiście w stanie wykryć, ponieważ porusza się razem z nią. Pęd został zachowany, ale nie względem obserwatora stojącego na ziemi.

A zatem pęd nie jest zachowywany względem każdego obserwatora.

Skoro nie jest on zachowywany względem każdego obserwatora, powstaje naturalne pytanie, względem których obserwatorów jest on zachowywany. Podsumowuje to następujące twierdzenie, które udowodnimy.

Twierdzenie. W dowolnym układzie punktów materialnych o zupełnie dowolnych równaniach ruchu jednak na tyle gładkich, żeby można było mówić o prędkościach chwilowych, pęd układu jest zachowywany względem obserwatora wtedy i tylko wtedy, gdy porusza się on ruchem jednostajnym względem środka masy układu.

Dowód. Oznaczmy przez qi funkcję ruchu i-tego punktu materialnego w następujący sposób:

(1)

Gdzie qx, qy, qz jest rozkładem na współrzędne. Funkcje ruchu mają być dowolne, ale odpowiednio „gładkie”, aby w ogóle można było mówić o pędzie. Przyjmijmy więc, że będą one dowolnymi różniczkowalnymi po czasie funkcjami wektorowymi. Pochodną po czasie będziemy zapisywali za pomocą kropki umieszczonej nad symbolem funkcji. Oczywiście pochodna funkcji wektorowej po czasie, jest również funkcją wektorową, której współrzędne są odpowiednio pochodnymi po czasie współrzędnych funkcji wyjściowej.

(2)

Dla ułatwienia rachunków wprowadzimy stałą oznaczającą całkowitą masę M wszystkich punktów materialnych układu (mi oznacza masę i-tego punktu materialnego, N niech oznacza liczbę punktów materialnych w rozpatrywanym układzie).

(3)

Niech z będzie funkcją ruchu opisującą ruch dowolnego obserwatora poruszającego się stałą prędkością o wektorze v względem środka masy układu.

(4)

Powyżej x jest wektorem wodzącym dowolnego ustalonego punktu przestrzeni euklidesowej.
Oznaczmy przez yi funkcję ruchu i-tego punktu materialnego „obserwowaną” przez tego obserwatora (czyli w transformacji Galileusza). Będą miały następująca postać.

(5)

Zatem

(6)

Obliczmy pęd układu p względem obserwatora poruszającego się ruchem opisywanym przez funckję z.

(7)

(8)

(9)

Zatem

(10)

Wykazaliśmy zatem, że przy dowolnych „odpowiednio” gładkich funkcjach ruchu pęd jest zachowywany względem obserwatora, który porusza się ruchem jednostajnym względem środka masy.

Teraz pokażemy, że pęd może być zachowany tylko względem obserwatorów poruszających się ruchem jednostajnym względem środka masy układu.

Niech z oznacza teraz funkcję ruchu obserwatora, względem którego pęd jest zachowywany. Zatem:

(11)

Czyli

(12)

Stąd

(13)

Formalnie jest to równanie różniczkowe, którego klasa rozwiązań ma następującą postać.

(14)

Gdzie c jest dowolnym wektorem.

Jest to jednak właśnie równanie ruchu obserwatora, który porusza się ruchem jednostajnym względem środka masy układu!

KOMENTARZE (18)

  1. magda2012-08-04 14:53:57

    Równanie pierwsze z punktu fizycznego jest podejrzane. Nie opisuje położenia punktów w zależności od czasu. Równanie trajektorii nie zawierają czasu, jak np. równanie linii prostej, elipsy.

  2. Michał Stanisław Wójcik2012-08-04 15:10:45

    Przecież q_i(t) oznacza położenie i-tego punktu w czasie t. To wydaje mi się jest zależność położenia od czasu. Nie dokońca rozumiem zastrzeżenie.

    Może nie do końca precyzyjnie napisałem. Chodzi o to, że {q_i} to rodzina funkcji różniczkowalnych R->R^3. A zatem mogą to być w zasadzie dowolne trajektorie – jakie sobie zechcemy.

  3. magda2012-08-04 15:16:26

    Michał, funkcje położenia to nie to samo co trajektoria.

  4. Michał Stanisław Wójcik2012-08-04 15:32:46

    Poruszający się punkt materialny w przestrzeni opisuję przez podanie funkcji jego położenia w zależności od czasu. Tę funkcję nazywam tutaj trajektorią. Czy w Twojej wypowiedzi chodzi o to, że źle użyłem pojęcia trajektoria?

  5. magda2012-08-04 16:22:12

    Tak, chodzi o to, że mylisz pojęcie położenia z trajektorią.

  6. Michał Stanisław Wójcik2012-08-04 16:47:02

    No tak, chyba ściśle trajektoria to tyle co tor ruchu, a więc obraz funkcji położenia, a nie sama funkcja. Dziękuję za zwrócenie uwagi, zawsze lepiej uniknąć takich zgrzytów słownych, jeśli się da.

    Nie wydaje mi się równocześnie, aby ta drobna nieścisłość wpływała na wywód jako taki. Główna teza mówi bowiem, że dla dowolnie poruszających się obiektów (bylby ruch był wystarczająco gładki) pęd jest zawsze zachowany względem obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka masy. Słowo trajektoria można ostatecznie wogóle stąd wyrzucić. Matematycznie operuję po prostu na funkcjach R->R^3.

    Nie mam pomysłu na razie jak poprawić to słowo, bo nie wiem jaka jest dobra nazwa na samą funkcje położenia względem czasu. Jakieś sugestie?

  7. Ryszard2012-08-04 23:49:11

    Przykro mi się zrobiło z powodu uwag Magdy. Ja w sprawie zasady zachowania pędu i środka ciężkości jeszcze będę się tu wypowiadać, ale na ten moment, chcę podkreślić jak bardzo jestem zażenowany tym, że temat tak ciekawy został w ten sposób skomentowany. To już lepiej było zauważyć, że rozumowanie można uprościć i zredukować liczbę symboli do czytania.

  8. magda2012-08-05 09:09:48

    Michał, jak poprawisz tekst od strony językowej, ponumerujesz wzory i wyjaśnisz znaczenie wszystkich symboli, które w nich występują, to wtedy łatwiej będzie zrozumieć. Oczywiście jak zechcesz.
    Widzę, że Twój kolega Ryszard jest poruszony moimi uwagami. Więc jeśli Ty nie jesteś gotów przyjąć krytykę to napisz, nic na siłę. Oczywiście można zostawić kogoś w błędzie, ale wtedy nie rozwinie się dalej. Niemniej rozumiem, że nie każdy sobie tego życzy, choć uważam, że jest to tekst publiczny i tym samym mogę napisać co myślę i gdzie zauważam zgrzyt.

  9. Michał Stanisław Wójcik2012-08-05 09:43:50

    @magda

    Nie neguję, że tekst ma niedoskonałości redakcyjne i masę usterek. Nawet dowód jest przydługi, co odkryłem już po opublikowaniu, ale ciągle nie mam czasu zmienić. Jak znajdę wolną chwilę to go udoskonalę i nawet jakoś usunę zgrzyt z trajektorią.

    Natomiast ciekawi mnie, czy Ty masz zastrzeżenia już do samej merytoryczej treści, do samego sedna wywodu, bo jednak to jest tutaj najważniejsze. Myślę, że można o tym dyskutować nawet mimo drobnych lapsusów słownych w samym tekście.

  10. magda2012-08-05 11:17:23

    Michał,
    ok. to ja poczekam jak znajdziesz czas i naniesiesz poprawki, bo na dzień dzisiejszy przeszkadzają mi te usterki.Stąd nie umiem odnieść się do reszty.
    Cieszę się, że nie uniosłeś się honorem- to cenię.

  11. Ryszard2012-08-05 16:38:37

    Rozumiem, że Magda natrafiła na kłopot zorientowania się w oznaczeniach. Wszak modelujemy ruch n ciał w trzech wymiarach, więc mamy aż 3n różnych funkcji, których pochodne również rozpatrujemy. Proponuję rozważyć ruch jednego ciała w przestrzeni jednowymiarowej i w tym kontekście omówić zasadę zachowania pędu. Potem wrócimy do wątku ogólnego.

    1. Niech będzie jedno ciało poruszające się po prostej.
    2. Niech s(t) oznacza położenie tego ciała w chwili t.
    3. Zakładamy, że s to jest różniczkowalna funkcja jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.
    4. Podkreślamy, że s jest zupełnie dowolną funkcją byle różniczkowalną.
    5. Pochodna s’(t) to prędkość chwilowa tego ciała w chwili t.
    6. Niech m oznacza masę tego ciała.
    7. Pęd tego ciała w chwili t to jest p(t) = m * s’(t).
    8. Zauważmy, że funkcja p jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja s ma postać s(t)=a*t + b, gdzie b to jakaś liczba rzeczywista oraz a=p(0)/m.
    9. Naszym domyślnym układem odniesienia jest sama prosta z ustalonym środkiem w punkcie 0.
    10. Względem tego układu odniesienia, pęd tego ciała jest stały wtedy i tylko wtedy, gdy to ciało ma stałą prędkość (czyli porusza się ruchem jednostajnym).
    11. Załóżmy, że to ciało porusza się ze zmienną prędkością.
    12. Czy istnieje jakiś inny układ odniesienia, w którym to ciało ma stałą prędkość (czyli w którym zachodzi zasada zachowania pędu)?
    13. Tak. Na przykład układ odniesienia, którym jest to właśnie ciało.
    14. Inne układy odniesienia będziemy sobie wyobrażać jako obserwator poruszający się w czasie po tej samej prostej, czyli też będzie to jakaś funkcja jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, wybierzmy literę z.
    15. Funkcja stała z(t)=0 to po prostu nasz domyślny układ odniesienia.
    16. Funkcja z(t)=s(t)+b, to będzie obserwator, dla którego rozpatrywane ciało jest nieruchome, w stałej odległości równej |b|. Dla takiego obserwatora pęd rozpatrywanego ciała jest stały.
    17. Funkcja z(t)=s(t)+at+b, to będzie obserwator, dla którego rozpatrywane ciało porusza się ze stałą prędkością równą a, natomiast w chwili 0 znajduje się w odległości |b|. Dla takiego obserwatora pęd rozpatrywanego ciała jest stały.
    18. Dla jakich jeszcze obserwatorów pęd rozpatrywanego ciała jest stały?
    19. Niech każdy sobie uzmysłowi, że w punkcie 17 już są wyczerpane wszystkie możliwości.
    20. Czy jest w ogóle sens mówić o zasadzie zachowania pędu w przypadku jednego ciała poruszającego się po prostej?
    21. Cała sprawa się sprowadza do tego, że pęd takiego ciała jest stały wtedy i tylko wtedy, gdy jest obserwowany przez obserwatora, który się względem niego porusza ruchem jednostajnym.
     

  12. Michał Stanisław Wójcik2012-08-05 18:57:12

    @magada

    Częśc matematyczna tej pracy nie wymaga żadnych istotnych poprawek, aby ją zrozumieć, a jest to matematyka na poziomie dawnej szkoły średniej (nie wiem, czy teraz są pochodne w liceum). Jeżeli ktoś zrozumie warstwę matematyczą, to widzi, że kwestia użycia słowa “trajektoria” niewiele przeszkadza. Nie jest teraz moim priorytetem zmiana tego słowa, mimo, że uznaję iż oznacza ono nieco coś innego niż w moim tekście. W tym wątku będzie się raczej toczyć dyskusja między osobami biegłymy w matematyce, więc nie będzie im przeszkadzać, że trajektorią nazwałem funkcję, a nie jej obraz.

  13. Michał Stanisław Wójcik2012-08-05 19:12:23

    @magda

    Twoja uwaga dotycząca użycia słowa trajektoria została, jak już wcześniej zaznaczyłem, przyjęta. Po tej dyskusji w komentarzach, każda zainteresowana osoba będzie uczulona na to, że w tekście słowo “trajektoria” zostało użyte jako określenie funkcji położenia od czasu, a nie toru punktu materialnego. Jeżeli masz jakieś dalsze zastrzeżenia do treści, to po prostu je ujawnij.

  14. Michał Stanisław Wójcik2012-08-05 21:59:04

    Po prywatnej rozmowie z Magdą uznałem, że warto jednak pozmieniać tekst, aby w końcu przekonać się, gdzie ona widzi błąd. Wprowadziłem więc następujące zmiany:

    1. Wyrugowałem zupełnie pojęcie trajektorii

    2. Dodałem opisy do niektórych symboli, aby było zupełnie jasne, co oznaczają.

    3. Wprowadziłem numerację równiań.

    Pozostała rzecz drobna, lecz niektórych fizyków może razić. x oznacza dowolny wektor wodzacy, z robi nam za funkcje ruchu obserwatora a indeksowane y to funkcje ruchu punktów materialnych względem obserwatora. Zmiana tego wymaga wygenerowania od nowa obrazków, co w obecnej chwili jest trudne.

    Oczekuję teraz merytorycznego komentarza.

  15. Ryszard2012-08-05 22:00:37

    No jeszcze jest możliwość odnieść się do jednopunktowej jednowymiarowej wersji, nawet bez zmian w oryginalnym tekście.

  16. Michał Stanisław Wójcik2012-08-06 11:09:36

    @Magda & @Ryszard

    Napisałem drugą wersję artykułu jeszcze bardziej ścisłą. Tak więc Magda nie czytaj już tej, przedź od razu do uściślonej i poprawionej.

  17. magda2012-08-06 15:03:42

    Ryszard.
    do 12 punktu.
    Prędkość ciała względem układu odniesienia związanego z tym ciałem wynosi zawsze O.

  18. Ryszard2012-08-06 15:08:32

    Magda, czy ja nie o tym napisałem w punkcie 13?

  19. Podgląd live
    Nie opublikowałeś jeszcze tego komentarza! Aby opublikować naciśnij przycisk Opublikuj Komentarz.

Dodaj komentarz