Konwencjonalność zasady zachowania pędu (2)

W poniższym artykule chodzi o podkreślenie faktu, że zasada zachownia pędu w mechanice klasycznej jest zasadą czysto analityczną. Zachodzi dla każdego układu punktów materialnych przy dowolnych ich ruchach. Ważne jest to, że te ruchy magą być naprawdę dowolne — a nie dowolne ale zgodne np. z zasadą minimalnego działania. Możemy sobie wymyślać najdziwniejsze ruchy, punky mogą się zatrzymywać i ruszać bez ładu i składu, bez żadnej wewnętrznej logiki (byleby cały czas istniała prędkość chwilowa), a pęd będzie i tak zawsze zachowany względem obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka masy układu. Równocześnie pęd w jakimkolwiek układzie może być zachowany tylko względem obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka masy układu. Uzmysławia to pewną matematyczną trywialność zasady zachowania pędu w mechanice klasycznej.

Zasada zachowania pędu

Pęd danego punku materialnego jest to iloczyn jego masy i prędkości. W przypadku, gdy rozważamy układ wielu punktów materialnych, które poruszają się w różnych kierunkach, ich prędkości rozumiemy jako wektory skierowane wzdłuż chwilowej linii ruchu o zwrocie zgodnym z kierunkiem ruchu i długości równej liczbowej wartości prędkości. Wektor pędu jest więc zgodny co do zwrotu i kierunku z wektorem prędkości, tylko jego długość jest równa liczbowej wartości prędkości pomnożonej przez masę punktu materialnego. Mówiąc, że pęd układu punktów materialnych jest zachowany mamy na myśli fakt, że wektorowa suma pędów wszystkich punktów materialnych układu jest stała w czasie. Wektory dodajemy, oczywiście sumując współrzędne.

Prędkość jednak jest względna. Zatem pęd również jest względny. Zasada zachowania pędu nie zachodzi wobec dowolnego obserwatora układu. Łatwo się o tym przekonać. Wyobraźmy sobie ziemię jako wielką metalową kulę, na której stoimy. Z kosmosu spada na ziemię plastelinowa kula, powiedzmy wielkości dużego arbuza. W momencie uderzenia rozpłaszcza się na jej powierzchni. Co stało się z pędem plastelinowej kuli? Obserwator przed uderzeniem obserwował spory pęd układu, a po uderzeniu wszystko jest statyczne i pęd układu wynosi dla niego zero. Fizyk odpowie być może tak:

Pęd układu został zachowany. Rozpatrzmy to zdarzenie z punktu widzenia jakiegoś niezależnego punktu obserwacyjnego. Spadająca kula przekazała swój pęd ziemi, ale ponieważ ziemia ma bardzo dużą masę, realizuje pęd plastelinowej kuli poruszając się z bardzo małą prędkością. Tego ruchu ziemi obserwator stojący na niej, nie jest oczywiście w stanie wykryć, ponieważ porusza się razem z nią. Pęd został zachowany, ale nie względem obserwatora stojącego na ziemi.

A zatem pęd nie jest zachowywany względem każdego obserwatora.

Skoro nie jest on zachowywany względem każdego obserwatora, powstaje naturalne pytanie, względem których obserwatorów jest on zachowywany. Podsumowuje to następujące twierdzenie, które udowodnimy.

Twierdzenie. W dowolnym układzie punktów materialnych o zupełnie dowolnych funkcjach ruchu jednak na tyle gładkich, żeby można było mówić o prędkościach chwilowych, pęd układu jest zachowywany względem obserwatora wtedy i tylko wtedy, gdy porusza się on ruchem jednostajnym względem środka masy układu.

Przez odpowiednią gładkość funkcji ruchu rozumiemy, że są różniczkowalne po czasie

Dowód.

Załóżmy, że mamy N punktów materialnych. Niech q_i oznacza funkcję położenia od czasu i-tego punktu gdzie i = 1, \dots, N w pewnym dowolnie wybranym układzie współrzędnych U. Ponieważ zakładamy, że ruch odbywa się w trójwymiarowej przestrzeni zakładamy, że

(1)   \begin{equation*} q_i(t) = (q^i_x(t), q^i_y(t), q^i_z(t)), \end{equation*}

gdzie q^i_x, q^i_y, q^i_z oznaczają współrzędne w układzie U. W dalszej części pracy pochodną po czasie będziemy oznaczać przez postawienie kropki nad symbolem funkcji. Ponieważ funkcje q_i są funkcjami wektorowymi, będzie oczywiście zachodzić

(2)   \begin{equation*} \dot{q}_i(t) = (\dot{q}^i_x(t), \dot{q}^i_y(t), \dot{q}^i_z(t)). \end{equation*}

Przez m_i oznaczymy masę i-tego punktu materialnego dla i = 1, \dots, N. Niech M = \sum_{i=1}^N m_i. Pokażemy, że dla dowolnego obserwatora, który porusza się ruchem jednostajmym względem środka masy układu, pęd układu jest stały. Weźmy więc równanie ruchu u(t) dowolnego obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka masy układu w układzie współrzędnych U.

(3)   \begin{equation*} u(t) = tv + \psi + \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i q_i(t), \end{equation*}

gdzie v oznacza wektor prędkości obserwatora względem środka ciężkości układu, \psi jest zaś wektorem oznaczającym dowolnie ustalone przesunięcie obserwatora od środka masy układu w czasie t = 0.
Wprowadzimy teraz nowy układ współrzędnych U' poruszający się razem z obserwatorem, którego środek znajduje się zawsze tam gdzie obserwator, zaś jego osie x', y', z' są odpowiednio równoległe do osi układu x, y, z osi ukladu U. Oznaczmy przez w_i funkcję ruchu i-tego punktu dla i = 1, \dots, N w nowym układzie współrzędnch U'. Zgodnie z transformację Galileusza:

(4)   \begin{equation*} w_i(t) = q_i(t) - u(t), \end{equation*}

dla i = 1, \dots, N.

Zauważmy, że po zróżniczkowaniu po czasie stronami (3) i pomnożeniu stronami przez M, dostajemy:

(5)   \begin{equation*} M\dot{u} = Mv + \sum_{i=1}^N m_i\dot{q}_i. \end{equation*}

Przekształcając uzyskujemy:

(6)   \begin{equation*} -Mv = \sum_{i=1}^N m_i \dot{q}_i - M\dot{u}, \end{equation*}

czyli:

(7)   \begin{equation*} -Mv = \sum_{i=1}^N m_i (\dot{q_i} - \dot{u}) = \sum_{i=1}^N m_i \dot{w}_i \end{equation*}

A zatem:

(8)   \begin{equation*} \sum_{i=1}^N m_i \dot{w}_i = const, \end{equation*}

ponieważ v jest usatlone dla rozważanego obserwatora. Zatem pęd układu względem obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka ciężkości układu jest stały.

Pokażemy teraz, że jeżeli dla dowolnego obserwatora pęd układu jest zachowany, to obserwator ten musi poruszać się ruchem jednostajnym względem środka masy układu.
Niech jak poprzednio u(t) oznacza równianie ruchu obserwatora w układzie współrzędnych U. Tym razem nie znamy jednak od razu postaci tego równania. Jedyne co wiemy, to to, że obliczany przez niego pęd układu jest stały w czasie. Niech U' oznacza jak powyżej układ współrzędnych poruszjący się razem z obserwatorem, w którego środku znajduje się obserwator z osiami x', y', z' równoległymi odpowiednio do osi x, y, z układu U. Tak samo jak poprzednio równie ruchu i-tego puntu w układzie U' ma postać:

(9)   \begin{equation*} w_i(t) = q_i(t) - u(t), \end{equation*}

Teraz wyrazimy za pomocą równania fakt, że obliczony przez obserwatora pęd układu p jest stały:

(10)   \begin{equation*} \sum_{i=1}^N m_i \dot{w}_i = p = const \end{equation*}

Przekształcając dostajemy:

(11)   \begin{equation*} p = \sum_{i=1}^N m_i \dot{q}_i - M\dot{u}, \end{equation*}

a zatem:

(12)   \begin{equation*} \dot{u} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \dot{q}_i - \frac{1}{M}p. \end{equation*}

Całkując to równianie stronami uzyskujemy:

(13)   \begin{equation*} u(t) = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i q_i(t) + \frac{t}{M}p + c, \end{equation*}

gdzie c jest dowolnym stałym wektorem. Ponieważ p = const równianie powyższe jest równianiem ruchu obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka masy układu w układzie współrzędnych U, co należało wykazać.

KOMENTARZE (9)

  1. Ryszard2012-08-07 08:08:04

    Michał zauważył, że pojęcie zachowania pędu układu ciał jest ściśle związane ze środkiem ciężkości tego właśnie układu i to nie ma nic wspólnego z izolowaniem czy z jakimikolwiek oddziaływaniami. W tym kontekście zwykle się mówi o układach izolowanych i układach inercjalnych, a jednak to nie ma nic do rzeczy, co się postaram zilustrować na prostym przykładzie.

    Niech będzie izolowany układ siedmiu ciał, które na siebie oddziaływują każdy z każdym. Wyodrębnijmy w myślach układ sześciu wybranych ciał z pominięciem jednego. Ten podukład już nie nazwiemy izolowanym.

    Wyobraźmy sobie obserwatora, który znajduje się zawsze w środku ciężkości tych wybranych sześciu ciał. (On się porusza po jakiejś krzywej.) Dla tego obserwatora ten podukład ma stały pęd, chociaż podukład nie jest izolowany, ani nie jest inercjalny.

    Warto zauważyć, że w tych rozważaniach nie zwracamy uwagi na oddziaływania pomiędzy ciałami. Wystaczy rozpatrywać ich ruchy, abstrahując od jakichkolwiek regularności, wzajemnych zależności, przyczyn czy sił.

  2. Michał Stanisław Wójcik2012-08-07 09:47:14

    Powyżej pokazano, że zasada pędu jest prawdą analityczną w fizyce klasycznej, zachodzącą zawsze o ile tylko określimy jakiekolwiek masy i ruchy z prędkościami chwilowymi. Równocześnie każdy pamięta masę zadań na zachowanie pędu, gdzie stosując tę zasadę dało się znaleść jakieś szukane prędkości? Teoretycznie nie powinno to być możliwe, a jednak zadania dało się robić. Wychodzi na to, że stosuje się tam coś więcej niż zasadę zachownia pędu.

    Z drugiej strony zasada zachowania pędu jest to zasada, którą “przewleka się” z mechaniki klasycznej na wszelkie inne nieklasyczne działy fizyki. Mam na myśli szczególnie teorię względności i mechanikę kwantową. Czemu tak się dzieje, skoro sama zasada zachwnia pędu w mechanice klasycznej jest czysto tautologiczna? Czyżby było tak, że w mechanice klasycznej jest ona czysto tautologiczna, a w teorii względności i mechanice kwantowej już nie.

    Jeżeli chodzi o szczególną teorię względności to kiedyś wyprowadzałem wzór na masę w zależności od prędkości i wtedy używałem zasadę zachownia pędu. Może pokażę to w jakimś następnym artykule.

    Muszę przemyśleć podobne rozumowanie do powyższego w szczególnej teorii względności. Tylko na mocy szczególnej teorii względności chyba nie umiem powiedzieć jak będzie wyglądała przestrzeń dla obserwatora poruszającego się dowolnym ruchem (niekoniecznie jednostajnym i to może być problem – muszę się zastanowić nad tym).

  3. Ryszard2012-08-07 16:58:09

    Ja sobie przeglądałem książkę The Geometry of Spacetime: An Introduction to Special and General Relativity, autor James J. Callhan. Moje wrażenie odnośnie szczególnej teorii względności na podstawie tej książki jest właśnie takie, że cała ta teoria to wleczenie wzorów z mechaniki klasycznej i podmienianie semantyki, aby zapewnić zachodzenie wzorów. Cały wykład nie odnosi się do rzeczywistości a jest jedynie materiałem dydaktycznym dla studentów matematyki. W książce nie ma mowy o tym, jak coś się ma do rzeczywistości, jest natomiast zapoznanie czytelnika z terminologią, symboliką, historią oraz mentalnością tej dziedziny fizyki.

    Wyprowadzanie wzorów polega na tym, że się podaje analogie z fizyki klasycznej oraz tak z góry dobiera definicje i symbole, żeby pokazać że analog też się pojawia w teorii względności. Załamany jestem tą książka.

    Ja się nie znam na teorii względności niestety. Chciałem coś z tej książki skorzystać, ale mi się nie udało. Natomiast do dyskusji nad szkolnymi zadaniami z pędu czuję się kompetentny. Sprawa mi leży na sercu od podstawówki i bardzo chętnie bym to wreszcie sobie wyjaśnił, jak to jest z tą fizyką Newtonowską i jej zastosowaniami w praktyce.

    Arystoteles widział spoczynek jako stan domyślny w teorii ruchu, natomiast ruch wymagał od teorii jakiejś przyczyny sprawczej. Po ustaniu przyczyny sprawczej ruch zanika i pojawia się spoczynek. Tak się dzieje w przypadku pchania ciała. Natychmiast staje, gdy się kończy pchać. A co sprawia, że ruch kamienia rzuconego ręką trwa długo po tym jak ręka go puszcza? Wygląda na to, że to nie ręka sprawia ruch, a powietrze. Takie dylematy mieli Grecy.

    U Newtona stan domyślny to brak zmiany ruchu, gdzie ruch po prostej ze stałą prędkością to właśnie brak zmiany ruchu. Każda zmiana ruchu wiąże się na mocy teorii z przyczyną, którą nazwał siłą. W ten sposób udało się wprowadzić kwantyfikację ruchu i przyczyn w języku liczb. To też czysta teoria czy tautologia czy po prostu system definicji, ale jakoś dużo lepszy niż ten grecki. Jak to jest, że on tak bardzo natchnął rozwój techniki? O tym chyba chcieliśmy gadać.

  4. Michał Stanisław Wójcik2012-08-07 20:59:21

    To zróbmy konkretne zadanie. Kulka plasteliny o masie $m_1$ leci z prędkością $v$ w kierunku wagonika, który stoi na torach i ma masę $m_2$. Kulka zderza się z wagonikiem, przylepia do niego i dalej poruszają się już razem. Jak będzie prędkość $v_k$ wagonika i kulki po zderzeniu? Siły oporu są zaniedbywalne.

    Doświadczenie takie możemy sobie wykonać. I ostatecznie jakoś zmierzyć tę prędkość. W szkole mówi się, że takie zadanie robimy z zasady zachowania pędu. Jednak wykazane powyżej twierdzenie pokazuje, że zadania tego nie da się zrobić za pomocą tej zasady, gdyż pęd zawsze jest zachowany, ale tylko i wyłącznie względem obserwatora poruszającego się ruchem jednostajnym względem środka masy układu bez względu na to z jaką prędkością ruszyłby wagonik po zderzeniu. Zatem nie da się z tej zasady obliczyć prędkości końcowej.

    Co jednak robi się w szkole? Liczy się pęd początkowy $m_1v$ wiadomo, że ma on być równy pędowi końcowemu, a zatem

    $$m_1v = (m_1 + m_2)v_k$$

    Czyli po prostu:

    $$v_k = \frac{m_1v}{m_1 + m_2}$$

    A zatem policzone! Czy użyliśmy coś więcej niż zasada pędu? Jak rozwiązać ten pozorny paradoks? Z jednej strony teoria mówi nam, że za pomocą samej zasady zachowania pędu nie jesteśmy w stanie nic przewidzieć. Z drugiej strony z sukcesem przewidujemy, co będzie.

  5. Ryszard2012-08-08 09:54:35

    Ja wczoraj myślałem nad tymi zadaniami z zastosowaniem zasady zachowania pędu i postawiłem hipotezę, że dodatkową zasadą, którą się stosuje w tych zadaniach jest addytywność masy.

  6. Michał Stanisław Wójcik2012-08-08 10:45:31

    Nie mam pojęcia co masz na myśli. Przecież tutaj mamy izolowane punkty. To, że się kulka plasteliny przylepia, to przecież mogę zrobić odpowiednią fukncją ruchu. Punkt $p_1$ leci w kierunku punktu $p_2$, w pewnej “bliskiej” odległości zaczyna “gładko” wyhamowywać, a punkt $p_2$ “gładko” ruszać. Sytuacja stabilizuje się tak, że w pewnym momencie poruszają się z tą samą prędkością z pewną “małą” stałą odleglością od siebie. A więc żadna masa się tu nie “dodaje” a przynajmniej nie wiem, co to znaczy. Muszisz rozwinąć.

  7. Ryszard2012-08-08 10:58:28

    Nie tyle rozwinąć, co w ogóle się zastanowić od nowa. Mi przyszedł do głowy czysto formalny pomysł, że posługujemy się dodawaniem mas, gdy myślimy o tym obiekcie połączonym, ale pokazałeś że dodawanie mas jest tylko operacją rachunkową na liczbach, a nie realnym dodawaniem mas, więc muszę się zastanowić od nowa nad moją uwagą.

  8. Michał Stanisław Wójcik2012-08-08 11:27:30

    Może zobaczmy co się dzieje ze środkiem masy w tym szkolnym zadaniu.
    Jaka jest jego prędkość przed zderzeniem. Załóżmy dla uproszczenia, że wagonik jest umieszczony w puncie $0$, a równanie ruchu kulki jest następujące $t \to tv – x_0$. Napiszmy więc równianie ruchu środka masy:

    $$t \to \frac{(tv – x_0)m_1}{m_1 + m_2} = \frac{tvm_1}{m_1 + m_2} + \frac{x_om_1}{m_1 + m_2}$$

    W więc prędkość środka masy i przed zderzeniem i po zderzeniu wynosi dokładnie tyle samo $v_k$.

    A więc istotą rozwiązana tego zadania jest to, że milcząco założyliśmy, że środek masy nie zmieni prędkości względem mnie. Tak naprawdę to, a nie zasada zachowania pędu decyduje o tym, że potrafimy rozwiązać to zadanie.

    A zatem należałoby zaproponować zasadę, która byłaby jakąś wersją I zasady dynamiki Newtona.

    Jeżeli środek masy danego układu porusza się względem obserwatora ruchem jednostajnym i nic zewnętrznego nie zadziała na ten układ, to jego środek masy będzie kontynułował ruch jednostajny względem obserwatora.

  9. Ryszard2012-08-16 16:26:45

    Jeśli założymy, że jesteśmy takim obserwatorem, że pęd układu wagonik+kulka jest stały w czasie względem nas, to wtedy z tego bezpośrednio możemy obliczyć prędkość końcową. Z tego założenia możemy też posiłkować się zasadą zachowania pędu i też obliczyć tę prędkość i właśnie tak się robi w szkole. Jednak kluczem jest założenie, że środek ciężkości układu porusza się ruchem jednostajnym względem rozwiązującego zadanie.

    Twoja zasada jednak nie wystarczyłaby w praktyce, gdyby kulka leciała ruchem niejednostajnym w stronę wagonika. Do rozwiązania zadania w szkole wystarczy chwilowa prędkość kulki w chwili zderzenia. Nie będzie wtedy mowy o jednostajnym ruchu środka ciężkości, więc twoja zasada nie załapie, a uczeń skorzysta z zasady zachowania pędu w chwili zderzenia i obliczy chwilową prędkość zlepka wagonik+kulka. Co będzie z ruchem dalszym zależy od treści zadania. Jeśli jest z góry powiedziane, że zlepek porusza się ze stałą prędkością, którą tylko trzeba obliczyć, to koniec zadania. A jeśli trzeba podać jak wygląda ruch bez założenia o stałości, to nie da się zrobić zadania.

    Myślę, że natknęliśmy się na problem nieprecyzyjnego sformułowania zadań. Jeszcze trzeba uważać na to, co się dzieje w trakcie zderzenia. Te zadania zwykle pomijają samo zderzenie, zakładają stałe prędkości przed i po zderzeniu i każą obliczać coś na podstawie założenia o stałości prędkości środka masy całego układu (ale niejawnie). Tautologia. Podstawianie do wzorów.

  10. Podgląd live
    Nie opublikowałeś jeszcze tego komentarza! Aby opublikować naciśnij przycisk Opublikuj Komentarz.

Dodaj komentarz